exo 90 page 44

salut,
je veux juste que vous m'aidiez a confirmer ma repose si non me montrer la faute.
l'ennoncé:
f est continue sur [a,b],tel que a<b
soit n appartient a N*
et x1,x2,x3,...,xn de [a,b]
prouvez que
il existe c de [a,b], f(c)=1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
Ma reponse:
on prend h(x) =f(x) -1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
h(a)=f(a)-1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
h(b)=f(b)-1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
donc h(a)-f(a)=h(b)-f(b)
donc h(b)=h(a)-f(a)+f(b)
on multiplie h(b)=h(a)-f(a)+f(b) par h(a)
ca donne h(a)*h(b)=(h(a)-f(a)+f(b))*h(a)=h(a)² +h(a)*(f(b)-f(a))
en faisant le tableau de signe on a h(a)² +h(a)*(f(b)-f(a))=0 admet 2 solutions
0 et (-f(b)+f(a)).
on constate du tableau que [h(a)² +h(a)*(f(b)-f(a))]<0 si h(a) est compris entre 0 et (-f(b)+f(a)).
******1er cas :0<h(a)<f(a)-f(b)
on a h(b)=h(a)-f(a)+f(b)
donc f(b)-f(a)<h(b)<0
donc h(b)*h(a)<0 ♣
*******2eme cas : f(a)-f(b)<h(a)<0
on a h(b)=h(a)-f(a)+f(b)
donc 0<h(b)<f(b)-f(a)
donc h(b)*h(a)<0 ♠
les autres cas sont faut ,en parceque f est continue ...

d'apres ♣ et ♠ on a h(b)*h(a)<0
donc il existe c de [a,b] h(c)=0
et puisque h(x) =f(x) -1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))
donc il existe c de [a,b] f(c) -1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))=0
donc il existe c de [a,b] f(c)= 1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))

sont faux et pas faut ,erreur de frappe

J'ai une petite question pour toi Matdonle20 :
Pourquoi faut-il toujours penser au produit f(a).f(b)<0 dans les exercices de TVI ? Tu crois pas qu'on peut les résoudre sans recourir à ça ?

c vrai mais c le cours donc faut l'appliquer

Matdonle20 a écrit:

c vrai mais c le cours donc faut l'appliquer

Oh que non !
Je suis très sûr que dans le cours il y a plusieurs formes du TVI tu n'as qu'à jeter un coup d'oeil !!
Bon , je te donne un indice : f est continue sur [a,b] alors il existe m,M de R tels que m=<f(x)=<M et tu continues ....

donc m<(1/n)(f(x1)+...+f(xn))<M
donc -M<-(1/n)(f(x1)+...+f(xn))<-m
et on a m<f(x)<M
la somme des deux m-M<S<M-m
donc il existe 0 entre m-M et M-m
donc il existe c de [a,b] tel que f(c)- (1/n)(f(x1)+...+f(xn))=0
c juste?

Non je crois pas .... l'idée est là mais t'as confondu quelques choses !
tu peux faire comme ça : m=<f(x)=<M
et tu fais entrer sigma tu auras par suite nm=<sigma f(x_i)=<M et en divisant par n tu conclus avec le TVI.
Tu vois où est ta faute maintenant ?

non, j'ai pas compris ,il faut montrer que il existe c de [a,b], f(c)=1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))

Bon , on trouve que m=<(1/n)sigma f(x_i))=<M alors il existe un certain c de [a,b] tel que f(c)=1/n * (f(x1)+f(x2)+...+f(xn)) d'après le TVI !
essaye de voir le cours , voilà d'après wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_valeurs_interm%C3%A9diaires
voir la partie énoncé
Bonne chance

ah d'acc mnt j compris merci