logique

Bonjour


Priere démontrer que racine (n/n+2) n'appartient pas à Q Merci.

Pour tout n£IN* ?

Tu supposes que V(n/(n+2)) £ IQ donc il existe (p,q)£IN tels que PGCD(p,q)=1
Tels que p/q=V(n/(n+2)) <=> p²/q² = n/(n+2)

On sait que n/(n+2) < 1 , Et que la différence de deux carrés (a,b) supérieur ou égale à 3 dans le cas ou a=4 et b=1. D'ou n et n+2 ne peuvent pas étre deux carré en méme temps ! D'ou la contradiction car p²/q² = n/(n+2).

D'ou V(n/(n+2)) n'appartient pas à IQ.

Bonne chance.

Merci et voici une réponse d'un autre forum.
Supposons que (n/(n+2) soit égale à la fraction irréductible p/q.
n/(n+2) = p²/q²; p²/q² est aussi irréductible, car en étant élevé au carré, p ne fait que dupliquer ses facteurs et n'acquiert aucun des facteurs qu'il ne partageait déja pas avec q; et réciproquement.
Si n est impair, n et n+2 sont premiers entre eux; n/(n+2) est une fraction irréductible égale à p²/q²; n = p²; n+2 = q²; 2 = q²-p² = (q+p)(q-p)
les facteurs de cette multiplications étant entiers, elle ne peut être que 2*1 ou 1*2 ou (-2)*(-1) ou (-1)*(-2), mais alors, ni p, ni q ne sont entiers.
Si n est impair, n/2 et (n+2)/2 sont premier entre eux
si on pose n' = n/2, (n+2)/2 = n'+1; la fraction n'/(n'+1) est une fraciont irréductible égale à p²/q²; n' = p²; n'+1 = q²; 1 = q²-p² = (q+p)(q-p)
la multiplication ne peut être que 1*1 ou (-1)*(-1) ce qui donne p = 0 et q = +1 ou q = -1
solution n' = p² = 0 et n'+1 = q² = 1
n = 2n' = 0; 2*(n'+1) = 2n'+2 = n+2 = 2
(n/(n+2)) n'appartient à Q que si et seulement si n = 0.