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 point fixe commun

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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: point fixe commun   point fixe commun EmptyMer 22 Nov 2006, 12:54

Soient f,g:[0,1] --> [0,1] continues telles que f(g(x))=g(f(x)) qqs x€[0,1].
On suppose en outre que f est monotone.
Montrer qu'il existe a€[0,1] tel que f(a)=g(a)=a.

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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 23 Nov 2006, 22:40

Je ne suis pas sur qu'il faille utiliser cela mais on peut montrer que si
f : [0,1] -> [0,1] est monotone, alors f admet un point fixe (ya pas besoin de la continuité il me semble)

Supposons par exemple f croissante :
ON pose
A = {x de [0,1] tel que f(x)>=x}

0 est un élément de A et A est une partie non vide majoré et minoré de |R
elle admet un borne sup et inf.

On pose m = supA

Si m est un élément de A, alors f(m)>= m et f croissante donc ff(m)>=f(m)
donc f(m) est élément de A et comme m est la borne sup de A, on a :
f(m)=<m
il vient donc f(m)=m

si m n'appartient pas à A montrons que c'est absurde.
on a donc f(m)<m
par définition de la borne sup, il existe n dans A tel que :
f(m)<n=<m ou encore f(m)<n=< f(n)

par contraposée de la croissance de f : si f(m)<f(n) => m=<n=<m
donc n=m d'où m est dans A ce qui est exclu.

d'ou le résultat

reste à conclur emais il est tard et j'ai cours demain

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyVen 24 Nov 2006, 11:08

Oui, mais pas nécessaire car f étant continue de [0,1] dans [0,1]
Alors Z(f)={ x€[0,1] / f(x)=x} est non vide.
De même Z(g) est non vide .
La question est de montrer que Z(f) n Z(g) est non vide.

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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyDim 21 Jan 2007, 20:20

Bonsoir abdelbaki et pelikano ;
* Si f et décroissante , la fonction h : x--> f(x)-x est continue strictement décroissante et comme elle s'annule (TVI) elle s'annule en fait une seule fois en un certain a de [0,1] et vu que h(g(a))=0 on voit que g(a)=a .
* Si f est croissante , en notant B = { x de [0,1] / g(x)=x } il est facile de voir que B est non vide et stable par f . Pour b dans B considérons alors la suite récurrente x0=b xn+1=f(xn) . La suite (xn) est monotone (croissante si b=<f(b) décroissante sinon) donc convergente (puisque bornée) vers un certain a de [0,1] . La continuité de f et g donne que f(a)=g(a)=a farao (sauf erreur bien entendu)
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 18:14

Je me demande si le résultat reste vrai sans la monotonie de f farao
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 18:34

Hmm il existe un a tel que f(a)=a (continuité..), alors aussi f(g(a))=g(a).
Donc tous les termes de la suite a,g(a),g(g(a)),... sont des points fixes de f.
Leurs points d'accumulation le sont aussi.
Peut-être qu'il faudrait échanger f et g, et utiliser la monotonie de f.
De là, c'est fini. Laughing
(la suite converge vers un certain a' tel que f(a') = a')

Ok, mais si on n'a pas le droit d'utiliser le fait que f est monotone.. je vais y réfléchir. Smile
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 18:37

elhor_abdelali a écrit:
Je me demande si le résultat reste vrai sans la monotonie de f farao
Non, il existe un article sur cette question. Le contre exemple est trés compliqué.

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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 20:18

Tu as cet article sous la main? Ca m'intéresserait de le lire.
(car je pensais qu'il était bien possible que ça reste vrai ^^; bon, mais après environ 15 mins. de réflexion, c'était du 50/50 Wink)
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 21:03

Hmm je pense que j'ai une idée pour un contre-exemple.
Mais voyons ça..

Hmm définissons f(0)=0, f(1/4)=3/4, f(1/2)=1/2, f(3/4)=1/4, f(1)=1 et g(0)=1,g(1/4)=1/4,g(1/2)=0,g(3/4)=3/4,g(1)=1/2.
Alors l'identité g(f(x))=f(g(x)) est vraie pour x=0,1/4,1/2,3/4 et 1 et il est possible d'avoir des fonctions continues f, g telles que 0, 1/2, 1 et 1/4, 3/4 soient des points fixes de f, g respectivement.
La question est de savoir si l'on peut étendre f, g continûment de sorte qu'elles satisfassent toujours l'équation g(f(x))=f(g(x)) - je pense qu'on peut...

Une manière bizarre de dessiner les graphes (F et G représentent des points de f, g respectivement) :
GxxxF
xFxGx
xxFxG
xGxFx
FxGxx.
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyJeu 25 Jan 2007, 23:22

Bonsoir ;

Citation :
Non, il existe un article sur cette question. Le contre exemple est trés compliqué.
Si tu peux abdelbaki j'aimerais bien lire cet article . farao
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyVen 26 Jan 2007, 00:49

http://www.math.wisc.edu/~propp/SSL/Minutes2001/ssl-minutes-2001-03-29.html

Bonne lecture

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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptyVen 26 Jan 2007, 17:07

Ok, à partir de ton lien, j'ai trouvé les trois articles suivants (dommage que je n'ai pas accès à JSTOR Sad ) :
Haskell Cohen
William M. Boyce
Gerald Jungck.

lol, donc il n'est pas surprenant que je n'ai pas été capable de répondre à la question d'Elhor Wink (mais mon intuition n'étais pas trop mauvaise Wink )
(au fait, j'avais aussi défini quelque chose de semblable au concept de "compatible maps" défini dans cet article ^^)
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aissa
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MessageSujet: Re: point fixe commun   point fixe commun EmptySam 20 Oct 2007, 19:24

salut Mr attioui
voila ma reponce pas besoin de monotonie
par l'absurde:
supposons que pour tout l de [o,1] f(l)-g(l) d non nul,
alors la fonction h x-> f(x)-g(x) qui est continue sur [o,1] garde un signe constant fog =gof alors f et g sont à valeurs dans [o,1]
et f continue alors il existe a entre o et 1 tel que f(a)=a
soit alors x_n+1= g(x_n) et x_o = a
on a (x_n) est bornée et monotone car h garde un signe constant donc converge vers un l de élément de [o,1]
et on a f(x_n)=x_n pour tout n
alors : lim x_(n+1)= =g(l)=l car g est continue et lim x_n=lim f(x_n) ie f(l)=l, ce qui est absurde
donc il existe l entre o et 1 tel que f(l) = g(l).
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