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 exo maths pour les professionels

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zakitou
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Date d'inscription : 26/06/2010

MessageSujet: exo maths pour les professionels   Jeu 14 Oct 2010, 20:28

exo 1 :
klk soit (a,b) appart1 à Z² prouver que
[(a+b)/2]+[(a-b+1)/2]=a

exo 2 :
(klk soit n de IN*) (klk soit x de IR) prouver que [[nx]/n]=[x]

trouver toutes les fonctions croissantes de IN vers IN :
klk soit (m,n)de IN² f(m.n)=f(n).f(m) / f(2)=2
j'attends vos réponses Smile
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zakitou
Habitué


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Date d'inscription : 26/06/2010

MessageSujet: Re: exo maths pour les professionels   Jeu 14 Oct 2010, 20:35

aucune reponse ??
repond moi plzzzz Smile
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Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
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Date d'inscription : 12/12/2009

MessageSujet: Re: exo maths pour les professionels   Jeu 14 Oct 2010, 22:11

Comme je suis de bonne humeur, je vais quand même répondre au sujet du troisième :
Solution :
Soit f une fonction définie sur IN et à valeurs dans IN, croissante, et telle que f(mn)=f(m)f(n) pour tout m et n de IN, et f(2)=2.
On montre d'abord, avec très grande facilité, que f(0)=0 et que f(1)=1.
Montrons par récurrence forte que f(n)=n.
- Initialisation : f(0)=0
- Hérédité : supposons la propriété f(i)=i vraie pour tout 0<=i<=n et montrons qu'elle l'est aussi au rang n+1 :
Par disjonction des cas :
Premier cas : si n+1 n'est pas premier.
Alors il existe deux entiers a et b tels que 0<=b<=n et que n+1=(2b+1)2^a.
Ainsi : f(n+1)=f((2b+1)2^a)=f(2b+1)2^a=(2b+1)2^a=n+1
Second cas : si n+1 est premier.
Alors n+1 est impair et est coincé entre deux nombres pairs, n et n+2, soit 2k et 2(k+1), et on voit bien que 0<=k<=n.
Donc par croissance de f : f(2k) <= f(n+1) <= f(2(k+1))
<=> 2f(k) <= f(n+1) <= 2f(k+1)
<=> 2k <= f(n+1) <= 2(k+1)
<=> n <= f(n+1) <= n+2
Et là on doit bien conclure que f(n+1)=n+1 (strictement croissante, la fonction, n'est-ce pas ?)
Ainsi, dans tous les cas, on arrive à propager la propriété au rang n+1.

Par suite, la propriété f(n)=n est vraie pour tout entier.
Cela veut dire que la fonction f est l'identité sur IN.

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MessageSujet: Re: exo maths pour les professionels   Aujourd'hui à 10:43

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