Exercice 43

Bonsoir! Je me demandais si quelqu'un aurait-il une idée de comment résoudre cet exercice?



a et b sont deux nombres rationnels

1. Démontrer que: a+b√2=0↔(a=0 و b=0)

2. résoudre dans Q étoile² l'équation: x²-2y²=0

3. Supposons que (a;b)≠(0;0)
Démontrer que: ∃(x;y)∈Q²∶ (a+b√2)(x+y√2)=1



Merci d'avance, et s'il vous plaît, pourrais-je avoir la réponse avant demain, Dimanche soir?

bonsoir

** pour 1 ) tu raisonne par double implication

l'implication : ( <= ) est simple

pour l'implication ( => ) l'absurde ......

** pour 2 ) tu factorise et après tu applique 1 ) .....

** pour 3 ) on a : x + yV2 = 1/(a+bV2) = ...... ( pense au conjugué )

et après tu passe à l'identification ........

@ + .

ça y est, j'ai trouvé! Merci infiniment, tu m'as été d'une aide précieuse... =)

Si c'est de citer la réponse pour la question 1 en détaillée ça me permettrait de connaitre quelque chose que je cherche depuis un moment , merci d'avance pour l'aide

pour 1)
<==) facile a=b=0 donc a+bv2=0
==> supposons que a=/=0 etb=/=0 donc on a a+bv2=0 <==> a=-bv2
comme a£Q et v2£/Q donc -bv2£/Q absurde puisque a£Q ==> a=b=0

1/ a+b√2=0↔a=-b√2
a E Q et-b√2nEQ
DONC a=0 et b=0

2/ 2/ x=y=0 solution évidente. On suppose que (x,y)≠(0,0)
x²-2y²=0 <=> x²=2y² <=> (x/y)²=2 <=> x=√2y ,
On a (x;y)∈Q² mais √2∈/ Q d'ou la contradiction.
S={(0,0)}

3/ On fixe a sur -x , et b sur y , donc a=-x et b=y , et remplaçant:
(a+b√2)(x+y√2)=1 <=> (-x+y√2)(x+y√2)=1 <=> 2y²-x²=1
L'exemple façile est x=y=1 . Alors que a=-1 et b=1
D'ou: ∃(x;y)∈Q²∶ (a+b√2)(x+y√2)=1 / (a;b)≠(0;0)

M.Marjani, merci pour tes réponses, elles sont bien pensées...