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 Produit scalaire

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G.Kaito
Habitué


Masculin Nombre de messages : 16
Age : 23
Date d'inscription : 19/10/2010

MessageSujet: Produit scalaire   Mar 19 Oct 2010, 16:06

Bonjour,
J'ai pas pu faire ces exercices. J'aurais besoin d'aide

Exercice 1 :
Soit ABC un triangle. On pose AB = c ; AC = b ; BC = a
En utilisant le développement de || u + v + w ||² avec u, v et w 3 vecteurs, montrer que :
a²+b²+c²/2abc = cosA/a + cosB/b + cosC/c

Exercice 2 :
1. Soit u et v deux vecteurs, montrer que : || u + v || =< ||u|| + ||v||
2. En déduire alors que dans un triangle ABC on a : AB =< AC + BC
3. Soit ABC un triangle. On pose I, J et K les milieux respectifs de [BC] , [AC] et [AB]
Montrer que AI + BJ + CK =< AB + BC + AC
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houssa
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 60
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: Re: Produit scalaire   Mar 19 Oct 2010, 16:42

salam

ex1:

a retenir :

||u||² = u²

||u|| = longueur du vecteur u

u.v = ||u||.||v||. cos(u,v)

_____________________________________

si ||u||=a , ||v|| = b , ||w||=c

alors : ||u+v+w||² = (u+v+w)²=u²+v²+w²+2uv+2vw+2uw

= a²+b²+c²+2ab.cos(u,v) +2bc.cos(v,w) +2ac.cos(u,w)


si en plus u = vecteur BC , v=vecteur CA et w =vecteur AB

u+v+w=0

cos(u,v) =cos(BC,CA)= cos[pi-(CB,CA)]=- cosC

de même pour les autres.....

donc : 0 = a²+b²+c²- 2ab.cosC -2bc.cosA -2ac.cosB

===> en divisant le tout par : 2abc

=====> (a²+b²+c²)/2abc = cosC/c + cosA/a + cosB/b

------------------------------------

ex2:

1) ||u+v||² - ( ||u||+||v||)² = u²+v²+2uv -u²-v²-2||u||.||v|| = 2uv - 2 ||u||.||v||

or uv = ||u||.||v||.cos(u,v) et -1 < cos x < 1

====> 2uv < 2||u||.||v||

====> ||u+v||² < (||u||+||v||)²

====> ||u+v|| < ||u||+||v||

2) on pose u= vect(AB) et v = vet(BC)

===> u+v = vect(AC)

===> AC < AB + BC

__________________________________________



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Canon
Habitué


Masculin Nombre de messages : 19
Age : 23
Date d'inscription : 19/10/2010

MessageSujet: Re: Produit scalaire   Mar 19 Oct 2010, 18:15

Pour la question 3 :
AI <= AC + CI
BJ <= AB + AJ
CK <= BC + BK
donc AI + BJ + CK =< AB + BC + AC + CI + AJ + BK <= AB + BC + AC
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Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 22
Date d'inscription : 12/12/2009

MessageSujet: Re: Produit scalaire   Mer 20 Oct 2010, 13:29

G.Kaito a écrit:

Exercice 2 :
1. Soit u et v deux vecteurs, montrer que : || u + v || =< ||u|| + ||v||
houssa a écrit:
ex2:

1) ||u+v||² - ( ||u||+||v||)² = u²+v²+2uv -u²-v²-2||u||.||v|| = 2uv - 2 ||u||.||v||

or uv = ||u||.||v||.cos(u,v) et -1 < cos x < 1

====> 2uv < 2||u||.||v||

====> ||u+v||² < (||u||+||v||)²

====> ||u+v|| < ||u||+||v||
On tourne un peu en rond, non ?
La sous-additivité est une condition sine qua non pour qu'un espace vectoriel soit normé.
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http://dijkschneier.freehostia.com
houssa
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 60
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: Re: Produit scalaire   Mer 20 Oct 2010, 16:23

salam

1) pour Dijkschneir:

ce que tu racontes n'est pas du niveau première (c'est un peu savant )

2) pour Canon

c'est faux ce que tu dis : AI + BJ + CK < ................< 3/2.AB + 3/2BC + 3/2.AC

la démonstration la voilà ( je n'ai pas eu le temps de la rajouter)

__________

tu complètes le parallèlogramme ABDC

dans ABD , I milieu de AD et AD < AB+BD =====> 2AI < AB + AC

de même : 2BJ < BA+BC et 2CK < CA+CB

en sommant :

2(AI+BJ+CK) < 2(AB+BC+AC)

====> AI + BJ+CK < AB+BC+AC

_____________
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