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 calcule d'une somme_oral X

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Fermat-X
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MessageSujet: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyVen 22 Oct 2010, 21:12

-Calculer 1*2*3+2*3*4+......+1000*1001*1002
-on demande en faite une méthode générale plus calculer S=[sigma de p=0 à n] (p+1) ....(p+k)
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mizmaz
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptySam 23 Oct 2010, 23:35

Fermat-X a écrit:
-Calculer 1*2*3+2*3*4+......+1000*1001*1002
-on demande en faite une méthode générale plus calculer S=[sigma de p=0 à n] (p+1) ....(p+k)
Je pense avoir déjà vu la généralisation du premier calcul. Si je me rappelle bien, c'est :
calcule d'une somme_oral X Gif
Assurons-nous de cela en usant d'un raisonnement par récurrence :
Nous avons : calcule d'une somme_oral X Gif.latex?1.2
Donc la proposition est vraie pour calcule d'une somme_oral X Gif
Supposons qu'elle est vraie pour n et démontrons-la pour n+1 :
calcule d'une somme_oral X Gif
Donc pour tout n de N*, la proposition est vraie.
La suite est facile, je crois...
Pour la deuxième question, j'y réfléchirai.
Au plaisir !
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyDim 24 Oct 2010, 11:05

Pour la deuxième question, on peut considérer un polynôme P du (k+1)ème degré tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x(x+1)(x+2)...(x+k).
Il s'agit donc d'écrire explicitement P, en résolvant l'équation polynomiale indiquée plus haut.
P(n) sera alors le résultat escompté.
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Fermat-X
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyDim 24 Oct 2010, 17:15

bien tous les deux
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mizmaz
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyMar 09 Nov 2010, 22:31

Dijkschneier a écrit:
Pour la deuxième question, on peut considérer un polynôme P du (k+1)ème degré tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x(x+1)(x+2)...(x+k).
Il s'agit donc d'écrire explicitement P, en résolvant l'équation polynomiale indiquée plus haut.
P(n) sera alors le résultat escompté.
Oui, mais l'équation polynomiale est-elle facile à résoudre ?...
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyMer 10 Nov 2010, 13:44

mizmaz a écrit:
Dijkschneier a écrit:
Pour la deuxième question, on peut considérer un polynôme P du (k+1)ème degré tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x)=x(x+1)(x+2)...(x+k).
Il s'agit donc d'écrire explicitement P, en résolvant l'équation polynomiale indiquée plus haut.
P(n) sera alors le résultat escompté.
Oui, mais l'équation polynomiale est-elle facile à résoudre ?...
Bien sûr : identification directe des coefficients de chaque membre.
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mizmaz
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyMer 10 Nov 2010, 21:09

Hum... Peux-tu le faire dans ce cas ?
Sinon, il est facile de démontrer l'égalité suivante par récurrence :
calcule d'une somme_oral X Gif.latex?1.2.3...k+2.3.4...(k+1)+...+n(n+1)(n+2)...(n+k-1)=\frac{n(n+1)(n+2)..
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyMer 10 Nov 2010, 23:04

mizmaz a écrit:
Hum... Peux-tu le faire dans ce cas ?
Sinon, il est facile de démontrer l'égalité suivante par récurrence :
calcule d'une somme_oral X Gif.latex?1.2.3...k+2.3.4...(k+1)+...+n(n+1)(n+2)...(n+k-1)=\frac{n(n+1)(n+2)..
Les développements sont houleux mais je crois toujours qu'on peut y arriver à bout. Usage intensif de la formule du binôme.
Par contre, il est vrai que la formule que tu viens de proposer est bien plus agréable à manipuler.
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mizmaz
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyJeu 11 Nov 2010, 19:56

La formule est également une solution à l'équation polynomiale ! (Il suffit en effet de remplacer les n par des x. Very Happy )
Au plaisir !
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X EmptyJeu 11 Nov 2010, 20:01

mizmaz a écrit:
La formule est également une solution à l'équation polynomiale ! (Il suffit en effet de remplacer les n par des x. Very Happy )
Au plaisir !
Oui, et par unicité de la solution (l'étape d'identification des coefficients impose l'unicité), elle est la seule.
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MessageSujet: Re: calcule d'une somme_oral X   calcule d'une somme_oral X Empty

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