suites numeriques

BJR

soit fn(x) = x^(n+1) + x^n + ........+x _ 1

1 mq fn admet un seul racine suur 0 + linfini notée Un

2 etudier la monotonie de Un et dq lim Un = 1/2

3 posons an = Un-1/2 mq lim n.an = 0 et deduire que Un est equivalente a 1/2^(n+1)


jai besoin de la 3eme question svp

salam

1) f est (polynomiale) , donc continue sur [0,+inf[

f est dérivable , f'(x) = (n+1).x^n + n.x^(n-1) + ............... + 2x + 1 > 0 sur [0,+inf[

f strict.croissante

f(0).f(1) = (-1).n < 0

=====> il existe a unique E ]0,1[ tel que f(a)=0 ; or a dépend de n ====> a = Un

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2) fn(Un) = 0

f(n+1)[ Un ] = (Un)^(n+2) + (Un)^(n+1) + ........... + Un -1 = (Un)^(n+2) + fn(Un)

= (Un)^(n+2) > 0

donc f(n+1)[ Un ] > f(n+1) [ U(n+1) ] , comme f(n+1) est strict.croissante

alors : Un > U(n+1)

la suite est décroissante.

(Un) est don c décroissante minorée ====> elle converge vers L E[0,1]

En plus : pour tout n E IN :et 0 < X < 1

fn( X) = (1 - X^(n+2) ) / (1 - X ) -2

=====> 1 - (Un)^(n+2) = 2(1 - Un)

L ne peut être 1 (décroissance) ====> 0=< L < 1 ====> (Un) ^(n+2) tend vers 0

====> 1 = 2(1 - L) ====> L = 1/2.

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3) je cherche aussi......