EXO CLASSIQUE

Salut! =D

f: R ---> R est une application
Sachant que
Quelque soit (x;y) £ R²
On a:
f(xy) = f(x) f(y)
et f(x+y) = f(x)+f(y)

1- Prouvez que: f(0) = 0
2- Prouvez que f(1) = 1 ou bien f(1) = 0
3- Supposons que f(1) = 1
Prouvez que: Quelque soit r £ Q : f(r) = r

Good luck.

Autrement dit : tout endomorphisme sur Q pris en tant que corps est l'identité sur ce corps.

Dijkschneier a écrit:

Autrement dit : tout endomorphisme sur Q pris en tant que corps est l'identité sur ce corps.

oui, exactement c'est l'identité

Oui

salam,
1) f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)==>f(0)=0
2)f(1)= f(1*1)=f(1)*f(1)==>f(1)=1
f(0)=f(1*0)=f(1)*f(0)==>f(1)=1
3) r£Q on pose r=p/q , p£Z q£IN*
f(r)=f(p/q)=pf(1/q) or f(1)=f(q*1/q)=qf(1/q) donc f(1/q)=f(1)/q=1/q
==>f(r)=pf(1/q)=p*1/q=p/q=r

tanmirt

La réponse de la 3ème question.. Je n'ai pas bien saisi ton truc.
Faudrait que tu passes par 3 étapes:
Prouvez que f(n) = n qq n £ N*
que f(k) = k qq k £ Z-
puis que f(1/q) = 1/q qq q £ N*
Pr enfin en déduire que f(r) = r

Par récurrence : ∀n∈N,∀x∈Q,f(nx)=nf(x).
Pour n∈Z−,n=−p avec p∈N et f(nx)=f(−px)=−f(px)=−pf(x)=nf(x).

On peut écrire x=p/q avec p∈Z et q∈N∗.
f(x)=f(p×1/q)=pf(1/q) or 1=f(1)=f(q×1/q)=qf(1q) donc f(1/q)=q puis f(x)=p/q=x.

Oui =)

amazigh-tisffola:
2)f(1)= f(1*1)=f(1)*f(1)==>f(1)=1
f(0)=f(1*0)=f(1)*f(0)==>f(1)=1

Fallait démontrer que f(1)=1 ou f(1)=0
et stp tu peux m'expliquer le passage de f(0)=f(1)*f(0) => f(1)=1

3- T'as dit que f(nx)=n(fx) euh mnine jebetti hadi z3ma les étapes pske depuis que je connais les fonctions f(nx) =/= nf(x) c'est skon ma appris =)

soumitous a écrit:

amazigh-tisffola:
2)f(1)= f(1*1)=f(1)*f(1)==>f(1)=1
f(0)=f(1*0)=f(1)*f(0)==>f(1)=1

Fallait démontrer que f(1)=1 ou f(1)=0
et stp tu peux m'expliquer le passage de f(0)=f(1)*f(0) => f(1)=1

3- T'as dit que f(nx)=n(fx) euh mnine jebetti hadi z3ma les étapes pske depuis que je connais les fonctions f(nx) =/= nf(x) c'est skon ma appris =)

exemple f(x)=x, est ce que f(nx)=/=nf(x)?
je sais que vous avez pas encore étudié la linéarité des fonctions et des applications, et c'est bien le thème de cet exercice
merci

et exemple f(x)=2x+1 est-ce que f(2x)=2f(x)?
Peut être que ta raison , c'est parce qu'on l'a pas encore étudier

A amazigh-tisffola:
Celle ci n'est pas la seule méthode pour faire cet exo. Il suffit de prouver par réccurence que f(n) = n quelque soit n appartenant à N*, non?

soumitous a écrit:

et exemple f(x)=2x+1 est-ce que f(2x)=2f(x)?
Peut être que ta raison , c'est parce qu'on l'a pas encore étudier

dans ce cas la on a pas f(x+y)=f(x)+f(y) donc ta fonction n'est pas linéaire ==>f(nx)=/=nf(x).
mais il faut pas dire que j'ai jamais vu de fonction qui vérifie f(nx)=nf(x).donc il n'existe pas!

c'est pas que j'ai jamais vu je voulais dire qu'on nous a jamais enseigner ça
Bon je m'excuse :p puisque j'ai pas encore étudié en profondeur la leçon alors je me tais :p

Dans ce cas la on a pas f(x+y)=f(x)+f(y) ?
Si

f(x+y)= 2(x+y)+1 = 2x+2y+1
f(x)+f(y)=2x+1+2y+1 = 2x+2y+2
f(x+y) =/= f(x) + f(y)

Ce sont des données

soumitous a écrit:

f(x+y)= 2(x+y)+1 = 2x+2y+1
f(x)+f(y)=2x+1+2y+1 = 2x+2y+2
f(x+y) =/= f(x) + f(y)

oui c ca, f n'est pas linéaire.
f:IR--->IR est linéaire si qlq k£IR, pout tt x , y £IR on a f(kx+y)=kf(x)+f(y)

Pardon mais je ne vois pas où le problème se pose là

f:IR--->IR est linéaire si qlq k£IR, pout tt x , y £IR on a f(kx+y)=kf(x)+f(y)
AAH :p je viens de comprendre mercii
*Pardon mais je ne vois pas où le problème se pose là
Je m'étais trompé c'est tout ça n'a aucune relation avec ton problème

Ah - __ -