un vrai défi (Arctan)

résoudre le système dans IR²

Arctan((x+y)/2)=x

Arctan((x-y)/2)=y

pour les vrai matheux !!

0 idées?

salut,
songer à : arctan(x)=y équivalant à tany=x si y appartient à l'intervale -pi2,pi2

cela reste une idée pour commencer l'exo

mais je crois que ton idée prends que 5% de toute la solution

Bon faut d'abor détérminer quelques domaines de définitions déja on a y appartient à l'intervale -pi2,pi2 obligatoirement ^^"
ensuite on met (1) x+y/2 = tan(y)
et (2) x-y/2 = tan(y) et on fait la 1-2 = x+y-x+y= 2tany - 2 tany donc y = 0 ensuite tu continues ... sauf érreur biensûr

L'enfant a écrit:

Bon faut d'abor détérminer quelques domaines de définitions déja on a y appartient à l'intervale -pi2,pi2 obligatoirement ^^"
ensuite on met (1) x+y/2 = tan(y)
et (2) x-y/2 = tan(y) et on fait la 1-2 = x+y-x+y= 2tany - 2 tany donc y = 0 ensuite tu continues ... sauf érreur biensûr

crois moi il demande du travail

C'est le genre d'exercices qu'il ne faut pas attaquer brutalement , car tu auras beau faire rentré la fonction tan et arctan il y'aura tjr un problème. Il faut juste restreindre au maximum l'intervalle d'étude.
Déjà le couple (0,0) est une solution évidente , il faut essayer de montrer que c'est l'unique (si c'est vraiment le cas) on remarque que x et y sont obligatoirement sur l'intervalle ]-pi/2,pi/2[. Ensuite l'équation n'a de solution que si x et y ont le même signe. et continuez ainsi ...

C'est pas un vrai probléme, j'ai lu y deux fois surement par fatigue je posterai ma réponce ce soir

alors j'attends ta réponse, ou sont les vrai matheux ?

x=tgx + tgy
y=tgx - tgy
xD









Les mathématiques sont la seule science où on ne sait pas de quoi on parle ni si ce qu'on dit est vrai.

Othmaann a écrit:

C'est le genre d'exercices qu'il ne faut pas attaquer brutalement , car tu auras beau faire rentré la fonction tan et arctan il y'aura tjr un problème. Il faut juste restreindre au maximum l'intervalle d'étude.
Déjà le couple (0,0) est une solution évidente , il faut essayer de montrer que c'est l'unique (si c'est vraiment le cas) on remarque que x et y sont obligatoirement sur l'intervalle ]-pi/2,pi/2[. Ensuite l'équation n'a de solution que si x et y ont le même signe. et continuez ainsi ...

Avec la méthode citée plus haut , je suis arriver à montrer que S = {(0;0)}

Bonjour et AID MOUBARAK SAID ,

pour résoudre le système proposé , on va procéder par analyse - synthèse.

*Supposons qu'il existe un couple (x,y) dans lR^2 tel que Arctan((x+y)/2)=x (1) et Arctan((x-y)/2)=y (2). De (1) et (2) on déduit que x et y appartiennent à l'intervalle ] -pi/2 ; pi/2[. Donc (x+y)/2 = tan(x) et (x-y)/2 =tan(y).
Donc x+y=2.tan(x) (3) et x-y=2.tan(y) (4).
De (3) et (4) on déduit que 2x=2.tan(x)+2.tan(y) et 2y=2.tan(x)-2.tan(y).Par suite : x -tan(x) = tan(y) (5) et y+tan(y) = tan(x) (6).
On va montrer que x=0 en montrant qu'on ne peut avoir les cas x dans ]-pi/2;0[ et x dans ]0;pi/2[ en utilisant les propriétés suivantes (faciles à démontrer):pour tout x dans ]-pi/2;0[, tan(x) < x (7) et pour tout x dans ]0;pi/2[, tan(x) >x ( 8 ) .
Si x est dans ]-pi/2;0[ , alors de (5) et (7) on tire tan(y) > 0 , donc y est dans ]0;pi/2[ , par suite de (6) on tire tan(x) > 0 , d'ou` x est dans ]0;pi/2[ ; ce qui est absurde.
Si x est dans ]0;pi/2[ , alors de (5) et ( 8 ) on tire tan(y) < 0 , donc y est dans ]-pi/2;0[ , par suite de (6) on tire tan(x) < 0 , d'ou` x est dans ]-pi/2;0[ ; ce qui est absurde .
Par suite x=0.
De (5) on déduit alors que tan(y)=0 . Donc y=0.
En conclusion : si le système proposé admet une solution , cette solution ne peut être que le couple (0;0).

*Réciproquement , on vérifie facilement que le couple (0;0) est solution du système proposé.

**Conclusion: l'ensemble des solutions du système proposé est S={(0;0)}.