demontration tres facile pr debutant

prouvez que :
qsx appartenant a N on a 2^n>n

Pour n=n_i=0 : 2^n>n => 1>0 ==> vrai.

Il nous reste le cas ou n>0:

On sait que pour tout (a,n)£IN²-{1}:a^n>=an

Donc: 2^n>=2n>n ===> D'ou le résultat.

Pour quoi pas n£IZ ?

peut-on la démontrer en recurrence ??

Bonsoir nami.ne,

on peut démontrer la propriété par récurrence.

Bonsoir M.Marjani ,

tu as utilisé une " propriété " fausse , à savoir: pour tout couple (a,n) de IN^2 , a^n >= an.
Pour te convaincre , prendre a=1 et n=2.

par récurrence,
on a pour n=0, 1>0 vrai,
supposons que pour n>=1 on a 2^n>n, et montrons que 2^(n+1)>n+1

n>=1 on a 2^(n+1)=2*2^n >2*n=n+n>n+1 car (n>=1)
d'ou 2^(n+1)>n+1

donc pt tt n dans IN ona 2^n>n

Bonsoir amazigh-tisffola;

pour que ton raisonnement par récurrence soit correct , tu dois supposer que pour n>=0
2^n > n et montrer que 2^(n+1) > n +1 ( et non pas supposer pour n>=1,2^n > n et montrer
que 2^(n+1) > n+1 ) .

haiki55 a écrit:

Bonsoir amazigh-tisffola;

pour que ton raisonnement par récurrence soit correct , tu dois supposer que pour n>=0
2^n > n et montrer que 2^(n+1) > n +1 ( et non pas supposer pour n>=1,2^n > n et montrer
que 2^(n+1) > n+1 ) .

oui c vrai c'est juste le cas n=0 est déjà traité c'est pour ca j'ai commencé par n=1

Rebonsoir amazigh-tisffola ;
remarque que ta façon de faire permet de montrer que pour tout n dans IN , n^2 >= 2n.
Poutant , cette "propriété" est fausse ( pour te convaincre , prendre n=1).

haiki55 a écrit:

Rebonsoir amazigh-tisffola ;
remarque que ta façon de faire permet de montrer que pour tout n dans IN , n^2 >= 2n.
Poutant , cette "propriété" est fausse ( pour te convaincre , prendre n=1).

Plutot l'inverse: 2^n >= 2n xD...

Bonjour M.Marjani,

je sais bien que : pour tout n dans IN , n^2 >= 2n est une proposition fausse ; je l'ai d'ailleurs
signalé en suggérant à amazigh-tisffola de prendre n=1.
Cet exemple a pour but de montrer que le raisonnement par récurrence d'amazigh-tisffola est
incorrect.
Veuillez lire attentivement mon message. Merci.

haiki55 a écrit:

Rebonsoir amazigh-tisffola ;
remarque que ta façon de faire permet de montrer que pour tout n dans IN , n^2 >= 2n.
Poutant , cette "propriété" est fausse ( pour te convaincre , prendre n=1).

bonjour,
regard bien ce que j'ai démontrer ce n'ai pas n^2>=2n mais c'est 2^n>n!!!!!!!

haiki55 a écrit:

Rebonsoir amazigh-tisffola ;
remarque que ta façon de faire permet de montrer que pour tout n dans IN , n^2 >= 2n.
Poutant , cette "propriété" est fausse ( pour te convaincre , prendre n=1).

j'ai pas montrer que pr tt n£IN n^2>=2n !!! ou ta vu ca?

Bonjour amazigh-tisffola;
je sais bien que tu as démontré (par un raisonnement par récurrence incorrect) que :
pour tout n dans IN ,2^n > n et non pas n^2 >= 2n.
Je vais être plus explicite pour que tu comprennes mon message d'hier (22h24mn). Je vais "démontrer" (par un raisonnement par récurrence incorrect , semblable au tien) que:
pour tout n dans IN , n^2 >= 2n (qui est une proposition fausse) pour te faire comprendre que ton raisonnement est incorrect.
*Pour n=0 , on a:0^2 >= 2.0
*Supposons que pour n >= 1 , n^2 >= 2n et montrons que (n+1)^2 >= 2(n+1).
On a: (n+1)^2 = n^2+ 2n +1 >= n^2 +2n . Or n >= 1 ,donc 2n >= 2. De plus n^2 >= 2n,
donc n^2 + 2n >= 2n + 2 = 2(n+1) ; par suite (n+1)^2 >= 2(n+1).
Conclusion(fausse):pour tout n dans IN, n^2 >= 2n.

Amicalement.

je sais que n^2>=2n est fausse déja en n=1 ca va pas, j'ai compris ce que tu veut dire,que ta faite la récurrence sur qlqch qui est faux. mais je voit pas ou y a le problème pour 2^n>n.peut être c'est faux je l'ai faite a la arrache

Bonjour ;
voici une solution possible de l'exercice proposé par chamitos007 faisant appel à un raisonnement par récurrence.

* On a : 2^0 > 0 , donc la propriété est vraie pour n=0.
*Soit n dans IN . Supposons que 2^n > n et montrons que 2^(n+1) > (n+1).
On a : 2^(n+1) = 2.2^n ; or 2^n > n et 2^n appartient à IN , donc 2^n >= (n+1) ,par suite
2.2^n >= 2(n+1) > (n+1) , soit 2^(n+1) > (n+1).
Conclusion:pour tout n dans IN , 2^n > n.

haiki55 a écrit:

Bonjour amazigh-tisffola;
je sais bien que tu as démontré (par un raisonnement par récurrence incorrect) que :
pour tout n dans IN ,2^n > n et non pas n^2 >= 2n.
Je vais être plus explicite pour que tu comprennes mon message d'hier (22h24mn). Je vais "démontrer" (par un raisonnement par récurrence incorrect , semblable au tien) que:
pour tout n dans IN , n^2 >= 2n (qui est une proposition fausse) pour te faire comprendre que ton raisonnement est incorrect.
*Pour n=0 , on a:0^2 >= 2.0
*Supposons que pour n >= 1 , n^2 >= 2n et montrons que (n+1)^2 >= 2(n+1).
On a: (n+1)^2 = n^2+ 2n +1 >= n^2 +2n . Or n >= 1 ,donc 2n >= 2. De plus n^2 >= 2n,
donc n^2 + 2n >= 2n + 2 = 2(n+1) ; par suite (n+1)^2 >= 2(n+1).
Conclusion(fausse):pour tout n dans IN, n^2 >= 2n.

Amicalement.

Non, mais t'as parti de donnée fausse, alors tu vas trouver toujours un résultat juste (l'implication est juste). C'est pas la méme chose avec: (An £ IN*): 2^n >= 2n .. Celà est juste, et tu peux faire la réccurence avec.

Bonjour M.Marjani;
l'exercice proposé par chamitos007 consiste à démontrer que :
pour tout n dans IN , 2^n > n et non pas : pour tout n dans IN* , 2^n >= 2n.
Adieu.

Amicalement.

haiki55 a écrit:

Bonjour M.Marjani;
l'exercice proposé par chamitos007 consiste à démontrer que :
pour tout n dans IN , 2^n > n et non pas : pour tout n dans IN* , 2^n >= 2n.
Adieu.

Amicalement.

Vous n'avez pas encore compris ce que je voullais dire moi, et "Tamazigh-tifsloufa". Ce qu'à utilisé "Tamazigh-tifsloufa" est le raisonnement de la disjonction des cas !

Ca veut dire quand il a discuter du cas de n=0 , donc il le reste de discuter du cas ou n£IN* ! Ce qui est juste mathématiquement. C'est le méme cas pour moi, j'ai discuter de n=0 et n=1, donc il me reste de discuter sur n£IN*-{1} est c'est bien ce que j'ai fais (sauf l'autre error).

sinon on utilise l'application extractrice φ:IN--->IN,n |--->2^n et montrons que φ est strictement croissante ==> φ(n)>n. pour tout n£IN,
Par récurrence sur n∈N obtenue en exploitant φ(n+1)≥φ(n)+1 car φ(n+1)>φ(n) avec φ(n+1)∈N

Bon voiçi ma solution officiel:

On peut démontrer façilement avec réccurence que: (1+a)^n>=1+an / (a,n)£IR+.IN
C'est l'inégalité de Bernouillis, et voiçi ma démonstration pour elle:

Spoiler:

Prendre a=1 dans l'inégalité de Bernouillis: (1+1)^n>1+1*n <=> 2^n>n+1>n

..........................

ça sera pus facile si on fait cela :

pour n=0 on a 1> 0 => Vrai

soit n & N* ; supposans que 2^n > n et montrons que 2^(n+1) > n+1

on a 2^n > n <=> 2^(n+1) > 2n *

et on a 2n > n+1 **

de * et ** on conclue que : 2^(n+1) > n+1

conclusion : pour tout n & N on a donc 2^n > n


Amicalement

Bonsoir nami.ne ,

tu affirmes que pour n dans IN , 2n > n + 1 **. Ce résultat est faux si n=0 ou n=1.

Amicalement.