olympiades

voilà le 2eme devoir des olympiades,pour les étudiants du 1 bac sciences maths. cliquer sur ce lien: https://2img.net/r/ihimizer/img236/4390/olympua0.gif

se n ètait pas dèfficille pour le premier exercice il n y as pas de solution et pour le deuxième il faut dèmontrè ke xy=<16 et pour le troisième on va utilisè la thèorème de cauchy dans le triangle ABC

EXO1:
x^3+x²-2=0--> x=1
donc d après la deuxième équation y²+1=0
le système n a pas de solution !

EXO2:
on sait que a²+b²>=(a+b)²/2
donc S>=(x+1/x+y+1/y)²/2
on pose f(x)=x+1/x
on a f convexe donc f(x)+f(y)>=2f((x+y)/2)=2*f(4)=17/2
d ou S>=(17/2)²/2=289/8

EXO3:
on a : d après le théorème de alkashi : AB²=BC²+AC²-AC*BC>=AC.BC
donc AB>=rac(AC.BC)
ainsi S>=rac(AC/BC)+rac(BC/AC)=x+1/x>=2

EXO4:
En utilisant la relation S=absin(C)/2 et Thalès , on obtient que
la surface du trapèze = (rac(a)+rac(b))²

slt a tout le monde
pour beljad
pour EXO 2
f convexe ==> f(x)+f(y)>=2f((x+y)/2) prq ??
et merci

c est la relation de jensen ou "convexité", c est très utile pr les inégalités

si f est une fonction convexe alors , pour tout a1,a2,...,an tel que leur somme est égale à 1 on a :
a1f(x1)+a2f(x2)+...+anf(xn)>=f(a1x1+a2x2+...+anxn)
dans notre cas on a juste deux variables, c pour ça que cette inégalité se réduit à a1f(x)+a2f(y)>=f(a1x1+a2x2) avec a1+a2=1
je vais prendre a1=a2 pour pouvoir profiter de x+y=8
alors f(a1x1+a2x2) = f((x1+x2)/2)=f(8/2)=f(4)
d ou le résultat 1/2(f(x)+f(y))>=f(4)

slt a tout le monde
merci bcp Bel jad
alors mnt je ss d'acors avec toi sur la solution

merci bcp bel jad

eh.......... dans l'olypyade je n'ai reussi que dans le 1er!!
bsse7 ma3lich...

bel_jad5 a écrit:

EXO3:
on a : d après le théorème de alkashi : AB²=BC²+AC²-AC*BC>=AC.BC
donc AB>=rac(AC.BC)
ainsi S>=rac(AC/BC)+rac(BC/AC)=x+1/x>=2

salam bel_jad j'ai pas compris cette solution essaye d'expliquer et merci.

je pense ke tu asd compris le cauchy et l autre sè on a AC²+cB²-BC*AC>=BC*AC donc AB²>=AC*BC alors AB²/AC² >=BC/AC sa beut dire ke AB/AC>=rac(AB/AC) la mème chose pour AB/BC et on obtiens ke S>=rac(AB/BC) + rac(AB/AC) >=2

comment vous avez trouver x=1 pour le premier exercice?
et merci

spakmaths a écrit:

comment vous avez trouver x=1 pour le premier exercice?
et merci

salam tout le monde
pout moi pour prouver que x=1 ds le 1ere exo ,
j'ai remarqué que 1 est un " jidre moula7ad" ( je sais pas cmt s'appel en francais ) dans al polynom p(x)=x^3+x²-2 c tout
@+

sont faire une remarke on a x^3+x²-2=x-^3-1+x²-1=(x-1)(x²+x+1)+(x-1)(x+1)=(x-1)(x²+2x+2)=0 et on a x²+2x+2=(x+1)²+1>=1>0 donc x²+2x+2et diffèrent de 0 donc x-1=0 alors x=1

webyassine a écrit:

j'ai remarqué que 1 est un " jidre moula7ad" ( je sais pas cmt s'appel en francais ) dans al polynom p(x)=x^3+x²-2 c tout
@+

Racine évidente, racine triviale .
En général, on cherche une racine évidente lorsqu'il s'agit d'une équation de 3éme degré.

pour le deuxieme exercices ,je n'est pas sur q'un eleve du 1 SM arrive à utiliser l'inegalité de jensen. voila ce que je propose .
on a : x^2+y^2 >= ((x+y)^2)/2=32
1/(x^2)+ 1/(y^2) >= 2/xy>=8/((x+y)^2)=1/8
2(x/y +y/x)>=4
en faisant la somme on trouve le resultat cherché.

oui ta raison moi mème je ne connait pas cette inègalitè mè se ke j ai fè j ai trouvè xy=<16 (x+y>=2rac(xy)) et on a (x+ 1/y)²+(y+1/x)²=x²+y²+(x²+y²)/x²y² +2(x/y +y/x) et on a x²+y²=64-2xy donc sa serai facile de trouvè ke x²+y²>=32 et (x²+y²)/x²y²>=1/8 et ossi on va dèmontrè ke 2(x/y+y/x)>=4 en faisant la somme on va avoir se ke on veut

slt ts le monde je vien de m'enrigistrer alors moi aussi g passer l'olympiade le 1er exo était fassile mé lé autre m'ont apri de temps on ts cas il a bien pass

bel_jad5 a écrit:

EXO4:
En utilisant la relation S=absin(C)/2 et Thalès , on obtient que
la surface du trapèze = (rac(a)+rac(b))²

peut tu developper stp?

malheuresement pour moi que j'ai resoud seulement ex 1 et 2
plz commen je peu ecrir x au carré