Exercices de préparation aux exams !

Quelques exercices des 3 premières leçon du programme extraits de divers examens :

Exercice 1 :
Démontrez que pour tout x et y de l'intervalle [0 ; + oo [ on a :
2x + 5y + 5 >= 2Vx (1-Vy) ( la racine est pour le x seulement )

Exercice 2 :
Soit f l'application définie par ce qui suit :
f : [3+oo[ ---->IR
x ------> x²-6x+2
1)- Démontrez que f est injectif ( tabayouni )
2)- Quel est f^-1 ([18; +oo[)
3)- est ce que f ta9abouli ?

Exercice 3 :
Démontrez que si les 2 implications suivants sont justes , l'expression P est fausse:
" P et non Q ==> Q " et " ( P et Q ) ==> non Q "

Exercice 4 :
Démontrez cette implication :
[ |a-b| =< c et |a+b| =< c ] ==> |ab| =< c²/2

J'ajouterai quelques exos dans les 3 prochains jours à chaque fois que j'en trouverai des intéressants , à vos stylos !

Exo 1: Application directe d'IAG (x+1>=2V(x)).
Exo 2: 1/ f(x)=f(y) => x=y ou x+y=6 (celle-çi est inclus dans x=y car x>=3 et y>=3 donc x=y=3)
2/ f(x)=y ==> trouver que x=V(y+7)+3 donc f^-1 ([18; +oo[) = [8; +oo[
3/ Oui. f est injectif et surjective en méme temps.
Exo 3: utiliser الاستدلال المضاد للعكس :
" P et non Q ==> Q " et " ( P et Q ) ==> non Q "
<=> p => ((p et non Q) ET non Q) Ou ((P et Q) Et Q)
<=> p => (P ET non Q) Ou (P ET Q)
Il ne reste donc qu'à faire le tableau des signes et déduire que p => (P ET non Q) Ou (P ET Q) Ce qui est juste.
Exo 4: Classique.

Si Mr.Marjani ou quelqu'un d'autre peut détailler pour la question 2 de l'exercice numéro 2 ça serait sympa , je postule des exercices concernant l'ensemble Q ! :

Exercice 5 :
Démontrez que qqsoit a et b de Q* , avec a =/= b , et pour tout x n'appartenant pas a Q :
(a+bx)/1+x n'appartient pas a Q

Exercice 6 :
Soit a ; b et c des nombres rationnels ( appartenant a Q ) , MQ : ab + bc + ca = 1
Démontrez que : V(1+a²)(1+b²)(1+c²) £ Q ( appartient a Q ) ( la racine regroupe tout le produit

salam,
exo2
2) on a f(x)=x²-6x+2
y=f(x), cherchons x en foction de y =>x=f^-1(y)
y=x²-6x+2=(x-3)^2-7 <=>y+7=(x-3)^2 <=>x=v(y+7)+3
==>f^-1(x)=v(x+7)+3
f^-1 continue est croissante
donc f^-1 ([18; +oo[)=[f^-1(18), lim+00f^-1(x)[=[v(18+7)+3; +00[=[5+3; +00[=[8;+00[

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

salam,
exo2

f^-1 continue est croissante
donc f^-1 ([18; +oo[)=[f^-1(18), lim+00f^-1(x)[=[v(18+7)+3; +00[=[5+3; +00[=[8;+00[

Je suis arrivé à tout ce que tu as fais avant ces 2 lignes , sauf qu'étant un elève de première SM je ne suis pas censé connaitre les limites , et je les connais pas d'ailleurs alors si possible de mettre une solution adaptée au programme de première SM

salam Mim,
c'est simple est sans calcul, trace la fonction f^-1 dans un repère, et voir l'image de l'intervalle [18; +oo[ est bien [8;+00[. (il suffit de projeté sur le graphe, aprés sur l'axe)

salam

j'interviens pour exo 3

la réponse de marjani n'est ni claire ni rigoureuse

______________________________________

remarque : je note : vraie = 1 , et fausse = 0

A ===> B est vraie dans 2 cas

( 0 ===> 0 ) ou bien ( 1 ===> 1 )

_______________

1) (P et non Q) = 0 et Q = 0 , donc non Q = 1 , d'où P = 0

(P et non Q ) =1 et Q = 1 , donc nonQ =0 , d'où impossible

_____________________________

2) (P et Q)=0 et (nonQ) = 0 , donc Q = 1 , d'où P = 0

(P et Q) = 1 et (nonQ )=1 , donc Q=0 , d'où impossible

___________
conclusion : pour avoir les deux assertions vraies , il faut que P soit fausse.

______________________________________

Raisonnement très clair et espacé , merci MR.houssa

Mim a écrit:

......

Exercice 5 :
Démontrez que qqsoit a et b de Q* , avec a =/= b , et pour tout x n'appartenant pas a Q :
(a+bx)/1+x n'appartient pas a Q

Signalons que x n'est pas égal à-1 donc les écritures ont un sens !!
Si (a+bx)/1+x était dans Q alors il s'écrirait (a+bx)/1+x=p/q avec p dans IN , q dans Z* et
PGCD(p;|q|)=1
On aurait alors q.(a+bx)=aq+bqx=p+px soit x.{bq-p}=p-aq

1) Si bq-p=0 alors bq=p donc q DIVISE p et alors forcément |q|=1
et celà impliquerait p=aq=bq d'ou a=b et cette conclusion contredit l'hypothèse

DONC on a bq-p<>0 puis x={p-aq}/{bq-p} qui est , ainsi écrit , CLAIREMENT dans Q.
et celà contredit encore les hypothèses !!!

Mim a écrit:

......

Exercice 6 :
Soit a ; b et c des nombres rationnels ( appartenant a Q ) , MQ : ab + bc + ca = 1
Démontrez que : V(1+a²)(1+b²)(1+c²) £ Q ( appartient a Q ) ( la racine regroupe tout le produit

Je n'ai pas très bien compris cet énoncé !!
Tu as écrit << MQ : ab + bc + ca = 1 >>
je pense que ce serait plutôt :
<< Soit a ; b et c des nombres rationnels ( appartenant a Q ) tels que ab + bc + ca = 1 ... >>
Je n'ai aucune idée de la résolution ......

Amicalement. LHASSANE

salam

encore pour exo5 :

(a+bx)/(1+x) = b + (a-b)/(1+x)

par l'absurde :

si (a+bx)/(1+x) =r E Q =====> comme a=/=b , alors x+1 = (r-b)/(a-b) E Q

====> x E Q , contradiction

.

houssa a écrit:

salam

j'interviens pour exo 3

la réponse de marjani n'est ni claire ni rigoureuse

______________________________________

remarque : je note : vraie = 1 , et fausse = 0

A ===> B est vraie dans 2 cas

( 0 ===> 0 ) ou bien ( 1 ===> 1 )

_______________

1) (P et non Q) = 0 et Q = 0 , donc non Q = 1 , d'où P = 0

(P et non Q ) =1 et Q = 1 , donc nonQ =0 , d'où impossible

_____________________________

2) (P et Q)=0 et (nonQ) = 0 , donc Q = 1 , d'où P = 0

(P et Q) = 1 et (nonQ )=1 , donc Q=0 , d'où impossible

___________
conclusion : pour avoir les deux assertions vraies , il faut que P soit fausse.

______________________________________

Bonsoir Monsieur Houssam : )
Il fallait mieux de ne pas choisir (P) le nom du phrase et ne pas utiliser (=>) ne désignait pas implique. Je n'est pas à poser la solution compléte, donc j'éclaire ma démonstration:

Plutot qu'on va utiliser la négation de (R):
(R): " P et non Q ==> Q " et " ( P et Q ) ==> non Q "
(R (Barre)): ((P et non Q) ET non Q) Ou ((P et Q) Et Q) <=> (P ET non Q) Ou (P ET Q)

Si P est juste alors (non R) est juste car l'une de Q ou (non Q) va étre juste.
Si P est fausse alors (P et non Q), (P et Q) sont fausses donc (non R) est fausse, d'ou (R) est juste.

On déduit que (R) est juste si et si que P est fausse.

PS: vous voyez Mr Houssam, pas la peine de grandir les choses : )

Mim a écrit:

Si Mr.Marjani ou quelqu'un d'autre peut détailler pour la question 2 de l'exercice numéro 2 ça serait sympa , je postule des exercices concernant l'ensemble Q ! :

Exercice 5 :
Démontrez que qqsoit a et b de Q* , avec a =/= b , et pour tout x n'appartenant pas a Q :
(a+bx)/1+x n'appartient pas a Q

Exercice 6 :
Soit a ; b et c des nombres rationnels ( appartenant a Q ) , MQ : ab + bc + ca = 1
Démontrez que : V(1+a²)(1+b²)(1+c²) £ Q ( appartient a Q ) ( la racine regroupe tout le produit

EXO 5: Façile par l'absurde.
EXO 6: Je l'ai dejà resolu dans ce forum, tu n'as qu'à chercher le sujet.

Si je me souviens, voiçi la methode que j'ai suivi (j'avais avancé avec Cygma):
Initialisation: (1+a²)(1+b²)(1+c²)=1+a²+b²+c²+(ab)²+(bc)²+(ac)²+(abc)² ==> (A)
On a ab+bc+ac=1 => (ab)²+(bc)²+(ac)²+2abc(a+b+c)=1 donc (ab)²+(bc)²+(ac)²=1-2abc(a+b+c)(1)
Encore, ab+bc+ac=1 <=> 2(ab+bc+ac)=2 <=> (a+b+c)²-2=(a²+b²+c²) (2)
On remplace (1) et (2) dans (A): (1+a²)(1+b²)(1+c²)=1+(a+b+c)²-2+1-2abc(a+b+c)+(abc)²=(a+b+c-abc)²
Alors V[(1+a²)(1+b²)(1+c²)]=(+-)(a+b+c-abc) qui appartient à IQ car (a;b;c)£IQ^3

A trés bientot.

salam marjani

R(barre) : ..................................<=> .................. <=> P (tout simplement)

.

houssa a écrit:

salam marjani

R(barre) : ..................................<=> .................. <=> P (tout simplement)

.

Certes.
L'équivalence p <=> (P ET non Q) Ou (P ET Q) fais l'affaire On revient à ma premiére solution qui je l'ai pas rediger bien à cause du temps. :d