exercice interressant d'application

soit E un ensemble et A £ P(E)
f l'application :
f : P(E) ---> P(E)
X ---> XuA
montrer que f est "tabayouny" <---> A different de l'ensemble vide .

princessdesmaths a écrit:

montrer que f est "tabayouny" <---> A different de l'ensemble vide .

Une donnée j'imagine ?

f(x) injective <=> ( A(x,y) £ P(e) ) f(x) = f(y) => x = y
f(x) = f(y) <=> X U A = Y U A
et comme A C A on peut déduire que X = Y afin que X U A = Y U A
dans ce cas f est injective

A vérifier !

Mim a écrit:

princessdesmaths a écrit:

montrer que f est "tabayouny" <---> A different de l'ensemble vide .

Une donnée j'imagine ?

f(x) injective <=> ( A(x,y) £ P(e) ) f(x) = f(y) => x = y
f(x) = f(y) <=> X U A = Y U A
et comme A C A on peut déduire que X = Y afin que X U A = Y U A
dans ce cas f est injective

A vérifier !

non c 'est pas une donnée c'est ce q'il faut montrer !

Admettons par absurde que A est un ensemble vide :
<=> f(E) = E
<=> f(E-A) = E
avec E =/= E-A
ce qui donne que f n'est pas injective , contradiction d'après la question 1 .
A vérifier ^^

Mim a écrit:

Admettons par absurde que A est un ensemble vide :
<=> f(E) = E
<=> f(E-A) = E
avec E =/= E-A
ce qui donne que f n'est pas injective , contradiction d'après la question 1 .
A vérifier ^^

avec a = l'ensemble vide on a E=E-A

princessdesmaths a écrit:

soit E un ensemble et A £ P(E)
fA l'application :
fA : P(E) ---> P(E)
X ---> fA(X)=XuA
montrer que f est "tabayouny" <---> A different de l'ensemble vide .

BJR princessdesmaths !!

Ton exercice est très intéressant parcequ'il est faux !!
Le plus intéressant est de le DEBOGUER c'est à dire de voir ou celà ne va pas !!

Supposons donc ton application INJECTIVE ( tabayounya ) alors
s'il existe dans A deux éléments a et b différents celà ne marchera pas CAR :
fA({a})=fA({b})=A mais {a}<>{b}
Par conséquent , pour que fA soit INJECTIVE il est NECESSAIRE que A possède
au plus UN SEUL ELEMENT donc A= VIDE ou A={c} avec c dans E .

Il reste à envisager une RECIPROQUE .....
1) Si A=VIDE alors fA est tout simplement l'application
X ---------> fA(X)=X qui est clairement injective .....
2) Si A={c} pour un élément c de E alors
soient X et Y dans P(E) tels que Xu{c}=Yu{c}
a/ Si c est à la fois dans X et Y alors on aura X=Y
b/ Si c n'appartient ni à X , ni à Y alors on aura aussi X=Y
c/ Si c est dans X mais c n'est pas dans Y alors là il peut se produire la non injectivité !!
Prendre par exemple X=E et Y=E\{c}
on aura alors fA(X)=fA(Y)=E mais X<>Y

En conclusion :

{fA est INJECTIVE <===> A est VIDE}

Amicalement. LHASSANE

Mr Lhassane , si A U B = C U B ne peut-on pas déduire alors que A = C ? ( si non , donner un contre exemple pour mieux assimiler le raisonnement

Mim a écrit:

Mr Lhassane , si A U B = C U B ne peut-on pas déduire alors que A = C ? ( si non , donner un contre exemple pour mieux assimiler le raisonnement

BSR Mim !!

C'est simple ! Tu prends B=IR tout entier , A=IN puis C=Z
On a bien A U B = C U B=B ( ici ) MAIS A<>C
Dans ce contre-exemple : A et C sont des sous-ensembles de B avec A<>C

Amicalement . LHASSANE

donc le seul cas ou A U B = C U B c'est quand A et C font partie ( demna ) B ^^

Bison_Fûté a écrit:

princessdesmaths a écrit:

soit E un ensemble et A £ P(E)
fA l'application :
fA : P(E) ---> P(E)
X ---> fA(X)=XuA
montrer que f est "tabayouny" <---> A different de l'ensemble vide .

BJR princessdesmaths !!

Ton exercice est très intéressant parcequ'il est faux !!
Le plus intéressant est de le DEBOGUER c'est à dire de voir ou celà ne va pas !!

Supposons donc ton application INJECTIVE ( tabayounya ) alors
s'il existe dans A deux éléments a et b différents celà ne marchera pas CAR :
fA({a})=fA({b})=A mais {a}<>{b}
Par conséquent , pour que fA soit INJECTIVE il est NECESSAIRE que A possède
au plus UN SEUL ELEMENT donc A= VIDE ou A={c} avec c dans E .

Il reste à envisager une RECIPROQUE .....
1) Si A=VIDE alors fA est tout simplement l'application
X ---------> fA(X)=X qui est clairement injective .....
2) Si A={c} pour un élément c de E alors
soient X et Y dans P(E) tels que Xu{c}=Yu{c}
a/ Si c est à la fois dans X et Y alors on aura X=Y
b/ Si c n'appartient ni à X , ni à Y alors on aura aussi X=Y
c/ Si c est dans X mais c n'est pas dans Y alors là il peut se produire la non injectivité !!
Prendre par exemple X=E et Y=E\{c}
on aura alors fA(X)=fA(Y)=E mais X<>Y

En conclusion :

{fA est INJECTIVE <===> A est VIDE}

Amicalement. LHASSANE

oui c'est vraie ! mais juste il faut signaler que l'exercice est :
" soit E un ensemble et A £ P(E) ,
f l'application : f: p(E) --->P(E)
X---->XuA
montrer que :
f injective <=> A= l'ensemble vide .

l'ensemble vide aussi fait partie de P(e) .

pour que f soit injective on doit avoir X U A = Y U A et ce dans tout les cas
hors ici , X = Y exige des conditions non précisées dans les données de l'exercice :
par exemple si X et Y font partie de A , on peut avoir x=/= y avec X U A = Y U A
et donc ...

voilà ce que j'ai trouvé !
pour montrer que f injective <=> A= l'enssemble vide on montre que :
1/ A= (/) ---> f injective ce qui est evident !
2/ f injective ---> A=(/) :
soit X et Y £ P(E) tel que X=Y :
on suppoose l'existance d'un element xappartenant a A :
x £ A <=> x£X et X£Y ou x£/ X et x £/ Y ou x£/ X et x£ Y ou x £ X et x £/ Y
=> X =/= Y
ce qui est absurde !
alors on conclu que
f injective <=> A = l'ensemble vide

a verifier !