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 Mesure principale [Angles orientés]

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Canon
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Masculin Nombre de messages : 19
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Date d'inscription : 19/10/2010

MessageSujet: Mesure principale [Angles orientés]   Ven 29 Oct 2010, 19:58

Bonjour,
J'ai du mal à trouver la solution

Soient a et b deux réels tel que b non nul.
Soit (ox, oy) un angle orienté de deux demi-droites dont une mesure en radian est a.pi/b
Montrer que a.pi/b + 2.pi.E(b-a/2b) est la mesure principale de (ox, oy) où E(x) est la partie entière du nombre réel x.
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houssa
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Masculin Nombre de messages : 1693
Age : 60
Date d'inscription : 17/11/2008

MessageSujet: Re: Mesure principale [Angles orientés]   Sam 30 Oct 2010, 09:09

salam

si a et b sont réels , alors on peut simplifier la question:

on pose x = a/b

===> montrer que : pi.x + 2pi.E( 1/2 (1-x)) est ..........

______________________________

on pose x=n+ e ( n=E(x) , et 0=<e<1 )

si mo est la mesure principale alors : pi.x = mo + 2k.pi ====>mo = pi.x - 2k.pi

1ercas:

-pi < mo < pi

====> -pi < pi.x - 2k.pi < pi

====> x-1 < 2k < x+1

====>(x-1)/2 < k < (x+1)/2

====>(a-b)/2b < k < (a+b)/2b

or (a+b)/2b - (a-b)/2b = 1

donc : k-1 < (a-b)/2b < k

===> k-1 =E((a-b)/2b)

===> k = E( (a-b)/2b + 1) = E ( (b-a)2b )

conclusion : mo = (a/b)pi + 2.pi.E( (b-a)/2b )

--------
2e cas mo = pi

===> a=b ====>( b-a)/2b = 0 ; la relation est vérifiée.

_____________________________________




Dernière édition par houssa le Dim 31 Oct 2010, 15:09, édité 1 fois
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Canon
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Masculin Nombre de messages : 19
Age : 23
Date d'inscription : 19/10/2010

MessageSujet: Re: Mesure principale [Angles orientés]   Sam 30 Oct 2010, 21:47

Et si l'on part de -pi < mo < pi => -pi < a.pi/b + 2kp < pi
après quelques lignes on trouve (-b-a)/2b < k < (b-a)/2b
et puisque k appartient à Z , k = E((b-a)/2b) donc mo = a.pi/b + 2.pi.E(b-a/2b)

Est-ce juste ?
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houssa
Expert sup


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MessageSujet: Re: Mesure principale [Angles orientés]   Dim 31 Oct 2010, 15:12


salam canon

ce n'est pas visible


revoyer ma correction rectifiée.

__________________________________________

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Canon
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MessageSujet: Re: Mesure principale [Angles orientés]   Lun 01 Nov 2010, 15:02

C'est bon. Merci
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MessageSujet: Re: Mesure principale [Angles orientés]   Aujourd'hui à 10:44

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