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Zineb.El
houssa
Mehdi.O
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 12 Nov 2010, 14:50

Salam tout le monde,
Voilà pour améliorer notre niveau en maths
Nous allons poster des exercices au fur et à mesure dans différents domaines
Commençons par des exercices d'applications :
Préparations !! Gif
Tel que
Préparations !! Gif
Montrer que ( f injective Préparations !! Gif)
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houssa
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 12 Nov 2010, 15:45


salam :

===> clé : double inclusion

<=== clé : A= {x} et B={y} avec x différent de y

________________________________
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 12 Nov 2010, 15:50

Des solutions détaillés svp !!
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houssa
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 12 Nov 2010, 17:28


salam E: appaetient , c : inclus

===>?

on part de f injective

Soit yE f(AnB) ===> y=f(x) avec x E(AnB)

===> xEA et xEB ====> f(x) E f(A) et f(x) E f(B)

===> y E f(A)nf(B)

conclusion1: f(AnB) c f(A)nf(B)
___________

soit yEf(A)nf(B) ====> y =f(a) , aEA et y =f(b) , bEB

comme f injective ====> a=b ====> y=f(x) , x=a=b E AnB

===> yE f(AnB)

conclusion2 : f(A)nf(B) c f(AnB)
__________
Enfin : f(AnB) = f(A)nf(B)

-----------------------------------------------
<===?
on part de l'égalité pour prouver l'injection

soient x et y tels que f(x) = f(y) = z

par l'absurde : supposons x =/= y

A={x} et B={y}

f(AnB) =f(vide) = vide

f(A)nf(B) = {f(x)}n{f(y)} = {z} non vide =====>contradiction

donc nécessairement x = y ====> f injective.

.

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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 12 Nov 2010, 22:25

Excellent Houssa !!
Postes un exercice !
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houssa
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptySam 13 Nov 2010, 09:53

salam

je vous propose :

exo :

Soit A une partie non vide fixée d'un ensemble E

f: P(E) ------------> P(E)

X ------------> Y telle que : Y = A(delta) X = (A-X)u(X-A)

montrer que f est bijective.

____________________________
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptySam 13 Nov 2010, 21:43

Solution du problème 2:

* Montrons d'abord que f est surjective :
Donc nous devons montrer que : ( Pour tout Z € P(E))( E X € P(E)) : f(X) = Z
f(X)=Z <=> Y=Z
<=> (A-X)(X-A)=Z
<=> (AUX)n((non A)U(nonX))=Z
<=> Zn(AnX)=Ensemble vide
Donc en prenant X = {ensemble vide} l'équation est vérifiée pour tout Z € P(E)
Donc f est surjective (1)

*Montrons que f est injective :
f(X)=f(X') => (A-X)U(X-A)=(A-X')U(X'-A)
Donc nous devons montrer que X=X'
Ici nous avons deux cas :
1- x€X-A=> x€X et x €/ A
=> x € (A-X)U(X-A)
=> x € (A-X')U(X'-A)
=> (x€A et x €/ X') ou (x€X' et x €/ A)
et puisque x €/ A donc juste x€X' et x€/ A
Il en résulte que x € X'
donc X C X' et puisque X et X' ont deux roles symétriques on montre de même que X' C X
Donc X =X'

2- x € AnX => x €/ (A-X)U(X-A)
=> x€/ (A-X')U(X'-A)
=> x €/ (A-X')
x € AnX => x € X'
X C X' et on montre de même que X' C X
Donc X=X'

Et donc f est injective .

Il s'ensuite que f est bijective
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houssa
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 07:46


salam

7e ligne.....

Donc en prenant X = {ens.vide} etc............ pour tout ZE P(E) ????????????

FAUX : pour Z = nonA , V = vide

f(V)=(A-V)u(V-A) = AuV =A loin de Z.

_____________________





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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 09:13

houssa a écrit:

salam

7e ligne.....

Donc en prenant X = {ens.vide} etc............ pour tout ZE P(E) ????????????

FAUX : pour Z = nonA , V = vide

f(V)=(A-V)u(V-A) = AuV =A loin de Z.

_____________________






Ce que tu as dit est dans la première équation !!
Moi j'ai pris dans la dernière équation ...
Je l'ai develloppé !!
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houssa
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Masculin Nombre de messages : 1693
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 09:41


salam

Mehdi.O

_______________
Tu as écris:

Donc en prenant X = {ens.vide} , l'équation est vérifiée pour tout Z E P(E)

____________________

ceci signifie

f(Vide) = Z pour tout Z EP(E) ??????? est-ce logique ???

.
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Zineb.El
Débutant
Zineb.El


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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 15:20

S'il vous plait Puis - je s'avoir Quand est ce que vous allez Préparer une autre leçon tongue
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houssa
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1693
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 16:36


salam

si personne ne répond , je peux donner la réponse

remarque : c'est un exercice du BELIN classe 1ère CDE (prog 1970)

_____________________
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nmo
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 18:21

houssa a écrit:

salam
si personne ne répond , je peux donner la réponse
remarque : c'est un exercice du BELIN classe 1ère CDE (prog 1970)
_____________________
Il serait gentil si tu attends un peu, merci d'avance.
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Othmaann
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 18:57

salam
Je ne sais pas si c'est la méthode souhaité mais on peut utiliser la fonction caractéristique.
On aura même que la fonction f est une involution si mes calculs sont bons.
Merci !!
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houssa
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 23:21


salam Othmaann

pour l'involution oui ...MAIS tu dois démontrer l'associativité de "Delta" avant ;

chose déjà faite il y a longtemps dans ce forum.

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Othmaann
Expert grade1



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyDim 14 Nov 2010, 23:27

salam
Pour éviter se perdre dans les calculs vaut mieux utiliser la fonction caractéristique , que ce soit pour l'associativité ou pour tout autre calcul avec la différence symétrique ... enfin , personnellement je préfère
merci.
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyMar 16 Nov 2010, 12:26

houssa a écrit:
salam
je vous propose :
exo :
Soit A une partie non vide fixée d'un ensemble E
f: P(E) ------------> P(E)
X ------------> Y telle que : Y = A(delta) X = (A-X)u(X-A)
montrer que f est bijective.
____________________________
On a f bijective <=> Préparations !! Gif.
(Voici la démonstration: https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/preparations-aux-olympiades-de-premiere-2010-2011-t16497-90.htm)
Donc, en ce qui concerne ton problème, il reste à prouver que Préparations !! Gif.
D'une part, on a Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc, selon les lois de Morgan, Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.==>(1)
D'autre part, on a Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.==>(2)
De 1 et 2, le résultat est ainsi prouvé.
f est donc bijective.
Sauf erreur.
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Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyMer 17 Nov 2010, 14:24

nmo a écrit:
houssa a écrit:
salam
je vous propose :
exo :
Soit A une partie non vide fixée d'un ensemble E
f: P(E) ------------> P(E)
X ------------> Y telle que : Y = A(delta) X = (A-X)u(X-A)
montrer que f est bijective.
____________________________
On a f bijective <=> Préparations !! Gif.
(Voici la démonstration: https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/preparations-aux-olympiades-de-premiere-2010-2011-t16497-90.htm)
Donc, en ce qui concerne ton problème, il reste à prouver que Préparations !! Gif.
D'une part, on a Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc, selon les lois de Morgan, Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.==>(1)
D'autre part, on a Préparations !! Gif.
Donc Préparations !! Gif.==>(2)
De 1 et 2, le résultat est ainsi prouvé.
f est donc bijective.
Sauf erreur.


Bonjour nmo :
Une chose que je n'ai pas compris, on noous a demandé de montrer qu f est bijective mais est ce que cela équivaut à prouver que :
Préparations !! Gif?

Merci bien Very Happy
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyMer 17 Nov 2010, 15:20

Voici une petite inégalité :
a et b et c sont des longeurs de côtés d'un triangle
Montrez que : a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) >= 3
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tarask
Expert sup
tarask


Masculin Nombre de messages : 1004
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyMer 17 Nov 2010, 16:07

Bon après-midi Very Happy
Je donne ma solution en spoiler :
Spoiler:

Bonne continuation Very Happy
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Mehdi.O
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 815
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Date d'inscription : 23/07/2010

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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyJeu 18 Nov 2010, 11:23

Excellent !
Bon quelqu'un pourrait-il poster un exercice ?
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tarask
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tarask


Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 30
Date d'inscription : 14/06/2010

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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyJeu 18 Nov 2010, 12:27

A moi l'honneur alors Very Happy
Je te propose cet exercice bien qu'il soit facile Very Happy
Préparations !! Exomehdi

Et puisque vous êtes dans les ensembles , en voici un autre Very Happy
Préparations !! Exomehdi1

Bonne chance Very Happy
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Dijkschneier
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Masculin Nombre de messages : 1482
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Date d'inscription : 12/12/2009

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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyJeu 18 Nov 2010, 23:31

tarask a écrit:
f est convexe sur R+ alors d'après l'inégalité de Jensen
Non ! Convexe sur ]-l'infini, 1-2]. Mais la condition que a,b et c soient les côtés d'un triangle assure que ceux-ci soient < 1/2. Wink
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http://dijkschneier.freehostia.com
Mehdi.O
Expert sup



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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 19 Nov 2010, 11:38

Merci Tarask pour cet exo :
Bon le premier est classique : a= V5 +1 ou V5 -1 Juste des calculs
Le deuxième cependant j'ai une question , si on démontre que a et b et c € A est ce que
a+b+c € A ?
Parce que si oui bah j'ai démontré que V2003 et 1 et 2003 appartiennent à A
Alors?
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! EmptyVen 19 Nov 2010, 11:54

Mehdi.O a écrit:
Merci Tarask pour cet exo :
Bon le premier est classique : a= V5 +1 ou V5 -1 Juste des calculs
Tu as commis une faute de signe, voici une solution:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/l-olympiade-de-settat-troisieme-phase-t15998.htm.
Bonne découverte.
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MessageSujet: Re: Préparations !!   Préparations !! Empty

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