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 exo

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ali-mes
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MessageSujet: exo   Jeu 18 Nov 2010, 16:38

soient (C) et (C') deux cercles concentriques de rayons respectifs R et R' et de centre O . on suppose que R' est strictement moins que R . une demi droite [Ox) coupe (R) en A et la demi droite opposée [Ox') coupe (C') en B. une demi droite [Ot) distincte des deux précédentes coupe (R) en E et (R') en F . soit P le point d'intersection de (BF) et (AE) . les cercles (FEP) et (BPA) se recoupent en T .
prouver que O^Tp (angle) = 90 degrés
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nmo
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MessageSujet: Re: exo   Mer 24 Nov 2010, 15:08

ali-mes a écrit:
soient (C) et (C') deux cercles concentriques de rayons respectifs R et R' et de centre O . on suppose que R' est strictement moins que R . une demi droite [Ox) coupe (R) en A et la demi droite opposée [Ox') coupe (C') en B. une demi droite [Ot) distincte des deux précédentes coupe (R) en E et (R') en F . soit P le point d'intersection de (BF) et (AE) . les cercles (FEP) et (BPA) se recoupent en T .
prouver que O^Tp (angle) = 90 degrés
Avant de commencer, je vois que tu as commis des erreurs d'inattentions signalés en gras.
Par un peu de l'intuition, on trouve ce qui manque.
Voici ma solution:
Après avoir, bien sûr, dessiné une figure propre:
Posons ABF=a et BAE=b.
Soit R le point d'intersection de [Ox) avec (C').
On a ROF un angle au centre lié à RBF un angle inscrit, dans le cercle (C'), limitant l'arc [RF].
Donc ROF=2RBF. (angles)
Donc ROF=2a. (angle)
Ainsi AOE=2a. (angle)==>(m)
On a E et A deux points qui appartiennent à (C).
Donc AO=AE.
Et par conséquent, le triangle AOE est isocèle en O.
Etant connu que la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.==>(*)
Il vient que, dans le triangle AOE, AOE+EAO+AEO=180°. (angles)
Donc 2a+b+b=180°.
Donc 2a+2b=180°.
Donc a+b=90°.
Dans le triangle BPA, selon *, on a ABP+BPA+BAP=180°. (angles)
Donc a+b+BPA=180°. (angle)
Donc 90°+BPA=180°. (angle)
Donc BPA=90°. (angle)
D'autre part, on a BFO=EFP, car ce sont deux angles juxtaposées à têtes.
Donc PFE=a. (angle)==>(1)
Le cercle qui passe par les sommets du triangle FEP, passe aussi par T.
Ainsi le quadrilatère FPET est inscriptiple.
On a donc ETP=EFP, car ce sont deux angles inscrits dans le cercle qui entoure FPET, et limitant le même arc [PE].
Donc ETP=a. (angle)==>(2)
Le cercle qui passe par les sommets du triangle PAB, passe aussi par T.
Ainsi le quadrilatère BTPA est inscriptiple.
On a donc ATP=ABP, car ce sont deux angles inscrits dans le cercle qui entoure BTPA, et limitant le même arc [PA].
Donc ATP=a. ==>(3)
En sommant 2 et 3, il vient que ATP+ETP=a+a. (angles)
Soit ATE=2a. (angles)==>(n)
Dans le triangle PFE, selon *, on a PFE+EPF+FEP=180°. (angles)
Donc a+90°+FEP=180°, en utilisant 1. (angle)
Donc a+FEP=90°. (angle)
Donc a+FEP=a+b. (angle)
Donc OEP=b. (angle)==>(4)
De m et n, on déduit que AOE et ATE sont égaux, ainsi qu'ils limitent le même arc [AE].
Donc le quadrilatère AOTE est lui même inscriptible.
D'où OEA=ATO. (angles)
Donc ATO=b. (angle)==>(5)
En sommant maintenant 3 et 5, il s'ensuit que ATO+ATP=a+b. (angles)
Donc OTP=90°. (angle)
CQFD.
Sauf erreur.
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exo
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