exercice très important !!

soit x un nombre réel:

on pose Un=10^-n[10^(n)x] et Vn=Un+10^-n
1/ demontre que Un=<x=<Vn
2/ demontre que (Un) et (Vn) sont deux suites adjacentes et determine leurs limite commun


f est bijective de IR vers IR et continue sur IR

quelq(x,y) appar à IR² f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)

1/determinez f(0) et f(1)
2/demontrer que f(x)=x
enjoy it

salut!!
veillez nous ecrire plus clairement U(n) car ça me parait qu'elle est egale à x (10^n * 10^-n =1 )

ok voilà

Un =10^-n * E(10^(n)*x)

j'espere que j'ai clarifié la formule!!

alors??

rebonsoir!! meryem desolé des amis sont venus me chercher et j'etais avec ^^
pour ne pas bcp attndre pour les la premier question peux utiliser [x]=<x=<[x]+1
et pour la deusieme tu peux utilise (pour tt n de IN et x de IR on a: 0=<[nx]-n[x]=<n-1.
je vais voir avec les autre questions

Salut,
Pour le premier exo je suis d'accord avec Marouan777

pour rolle on doit savoir si la fonction est derivable ou pas dans l'intervalle

mais bn moi j'ai trouvé une autre soluce pour ça

on considere f(x) et f(y) deux solutions d'une equation du second degré
ax²+bx²+c=0 alors f(x)s'ecrit de cette façon : f(x)=a'x+b'

on prend x=y

f(2x)=2f(x) et f(x²)=f(x)² <==> 2a'x+b'=2a'x+2b' et a'x²+b'=(a'x+b')²
<===>b'=0 et a'x²+b'=a'²x²+b'²+2a'b'x
<===> b'=0 et a'=1

===>> f(x)=x
sauf erreur j'attends une confirmation!!

j'attends une confirmation pour marwan est ce que tu peu me clarifier comment faire avec rolle??? j'aimerai bien savoir ta methode!

Bonjour,
une solution possible de la dernière partie de l'exercice est la suivante:
1) * On a :f(0+0)=f(0)+f(0) ,donc f(0)=2.f(0) ,donc f(0)=0.
*On a : f(1.1)=f(1).f(1) , donc f(1).( f(1) - 1)=0 . Or f(1) est différent de 0 (sinon 0 admet deux antécédents par f qui sont 0 et 1 , ce qui est impossible vu que f est bijective); donc f(1)=1.
2) *Soit x dans lR , on a : -x dans lR et f(x+(-x))=f(x)+f(-x) ,donc f(-x)=-f(x),par suite f est impaire.
*Une simple récurrence permet de montrer que pour tout n dans lN , f(n)=n.
*Montrons que pour tout entier relatif n , f(n)=n:
Soit n un entier relatif. Si n>=0 ,f(n)=n (voir résultat précédent).
Si n <0 ,alors n=-m avec m>0 ,donc f(n) =f(-m)=-f(m)=-m=n.
*Montrons que pour tout rationnel r , f(r)=r.
Soit r un rationnel.On a: r=m/n avec m entier relatif et n entier naturel.
Donc r.n=m,donc f(r.n)=f(m) ,par suite f(r).f(n)=f(m).d'ou` f(r)=m/n =r.
*Soit x dans lR. D'après la première partie de l'exercice :(Un) est une suite de rationnels qui converge vers x.
On a:pour tout n dans lN , f(Un)=Un. Donc lim f(Un)=lim Un ( avec n--->+l'infini).Donc lim f(Un)=x. Or f est continue en x , donc lim f(Un)=f(x) quand n--->+ l'infini . Par suite :f(x)=x.

haiki55 a écrit:

Bonjour,
une solution possible de la dernière partie de l'exercice est la suivante:
1) * On a :f(0+0)=f(0)+f(0) ,donc f(0)=2.f(0) ,donc f(0)=0.
*On a : f(1.1)=f(1).f(1) , donc f(1).( f(1) - 1)=0 . Or f(1) est différent de 0 (sinon 0 admet deux antécédents par f qui sont 0 et 1 , ce qui est impossible vu que f est bijective); donc f(1)=1.
2) *Soit x dans lR , on a : -x dans lR et f(x+(-x))=f(x)+f(-x) ,donc f(-x)=-f(x),par suite f est impaire.
*Une simple récurrence permet de montrer que pour tout n dans lN , f(n)=n.
*Montrons que pour tout entier relatif n , f(n)=n:
Soit n un entier relatif. Si n>=0 ,f(n)=n (voir résultat précédent).
Si n <0 ,alors n=-m avec m>0 ,donc f(n) =f(-m)=-f(m)=-m=n.
*Montrons que pour tout rationnel r , f(r)=r.
Soit r un rationnel.On a: r=m/n avec m entier relatif et n entier naturel.
Donc r.n=m,donc f(r.n)=f(m) ,par suite f(r).f(n)=f(m).d'ou` f(r)=m/n =r.
*Soit x dans lR. D'après la première partie de l'exercice :(Un) est une suite de rationnels qui converge vers x.
On a:pour tout n dans lN , f(Un)=Un. Donc lim f(Un)=lim Un ( avec n--->+l'infini).Donc lim f(Un)=x. Or f est continue en x , donc lim f(Un)=f(x) quand n--->+ l'infini . Par suite :f(x)=x.

Vous avez utilisé la densité c'est ça non ?

salut,
oui la densité de IQ dans IR

Root a écrit:

salut,
oui la densité de IQ dans IR

Or c'est hors-programme

Je pense qu'il ya une methode plus simple par l'absurde

Root a écrit:

Je pense qu'il ya une methode plus simple par l'absurde

A toi l'honneur ...
Mais je doute fort que l'absurde soit une méthode efficace pour trouver la solution de ce système fonctionnel

2)on a quelq(x,y) appar à IR² f(x+y)=f(x)+f(y)
donc f((x-1)+1)=f(x-1)+f(1)
donc f(x) = f(x-1) +1 pr tt x appar a IR²
Suposons que :∃c ∈ IR , f(c)#c ⇔f(c-1)#c-1⇔1+f(c-1) #c
Donc ∃c ∈ IR,1+f(c-1) #c#f(c)
Mais on a f(x) = f(x-1) +1 pour tt x de IR
ce qui est absurde
Donc f(x)=x
Sauf erreur

Root a écrit:

2)on a quelq(x,y) appar à IR² f(x+y)=f(x)+f(y)
donc f((x-1)+1)=f(x-1)+f(1)
donc f(x) = f(x-1) +1 pr tt x appar a IR²
Suposons que :∃c ∈ IR , f(c)#c ⇔f(c-1)#c-1⇔1+f(c-1) #c
Donc ∃c ∈ IR,1+f(c-1) #c#f(c)
Mais on a f(x) = f(x-1) +1 pour tt x de IR
ce qui est absurde
Donc f(x)=x
Sauf erreur

Non , je crois pas , il y a bien une erreur de logique voir ce qui est rouge

Ou est l'erreur exactement

Root a écrit:

Ou est l'erreur exactement

Mais c'est normal que tu n'arrives pas à voir l'erreur que j'ai signalée , tu n'as pas pris tout le temps à lire mon message !!!
Bon , tu as dit qu'il existe au moins un c tel que f(c)#c là je suis d'accord , mais le fait de dire que même c-1 réalise f(c-1)#c-1 , c'est bien une erreur de LOGIQUE ! parce que tu as négligé le ∃ !!! quel est son rôle alors si on remplace c par c-1 ,c-2 , 2c ........ ????
Je crois que c'est clair maintenant !
No offense

∃c ∈ IR , f(c)#c ⇔∃(c-1) ∈ IR, f(c-1)#c-1 ⇔∃(c-1) ∈ IR, 1+f(c-1) #c
Donc ∃(c-1) ∈ IR,1+f(c-1) #c#f(c)
et mnt?

Root a écrit:

∃c ∈ IR , f(c)#c ⇔∃(c-1) ∈ IR, f(c-1)#c-1 ⇔∃(c-1) ∈ IR, 1+f(c-1) #c
Donc ∃(c-1) ∈ IR,1+f(c-1) #c#f(c)
et mnt?

Bref, je ne suis pas d'accord
Je te dis pourquoi , et pour la dernière fois :
Quand on essaye de résoudre une équation fonctionnelle , on prend l'exemple de f:R---->R, f(x+y)-f(xy)=f(5x-y)+2 on peut prendre x=-y ou bien alpha=x-y .... parce qu'on a quelque soit x et y de R on peut "jouer" avec les termes .... or quand on a il existe au moins , on peut pas faire ça .....
P.S: Il se peut que mes idées soient fausses , je demande à quelqu'un d'autre de nous signaler l'erreur (s'il y en a biensur )
Amicalement

Bonjour,

Citation :

∃c ∈ IR , f(c)#c ⇔∃(c-1) ∈ IR, f(c-1)#c-1 ⇔∃(c-1) ∈ IR, 1+f(c-1) #c
Donc ∃(c-1) ∈ IR,1+f(c-1) #c#f(c)
et mnt?

Il me semble qu'il y a une erreur de logique : la première équivalence n'est pas juste ( considérer la fonction f définie sur lR par f(x)=2x+1 et c=0).

Amicalement

haiki55 a écrit:

Bonjour,
une solution possible de la dernière partie de l'exercice est la suivante:
1) * On a :f(0+0)=f(0)+f(0) ,donc f(0)=2.f(0) ,donc f(0)=0.
*On a : f(1.1)=f(1).f(1) , donc f(1).( f(1) - 1)=0 . Or f(1) est différent de 0 (sinon 0 admet deux antécédents par f qui sont 0 et 1 , ce qui est impossible vu que f est bijective); donc f(1)=1.
2) *Soit x dans lR , on a : -x dans lR et f(x+(-x))=f(x)+f(-x) ,donc f(-x)=-f(x),par suite f est impaire.
*Une simple récurrence permet de montrer que pour tout n dans lN , f(n)=n.
*Montrons que pour tout entier relatif n , f(n)=n:
Soit n un entier relatif. Si n>=0 ,f(n)=n (voir résultat précédent).
Si n <0 ,alors n=-m avec m>0 ,donc f(n) =f(-m)=-f(m)=-m=n.
*Montrons que pour tout rationnel r , f(r)=r.
Soit r un rationnel.On a: r=m/n avec m entier relatif et n entier naturel.
Donc r.n=m,donc f(r.n)=f(m) ,par suite f(r).f(n)=f(m).d'ou` f(r)=m/n =r.
*Soit x dans lR. D'après la première partie de l'exercice :(Un) est une suite de rationnels qui converge vers x.
On a:pour tout n dans lN , f(Un)=Un. Donc lim f(Un)=lim Un ( avec n--->+l'infini).Donc lim f(Un)=x. Or f est continue en x , donc lim f(Un)=f(x) quand n--->+ l'infini . Par suite :f(x)=x.

BRAVO HAIKI j'ai bien aimé ta demonstration mais je veux m'assurer si la mienne est aussi juste . peut tu nous donner des infos sur cette demo la densitéé peut tu generaliser le concept pour kon puisse l'utilise dans d'autres cas et merciiii!!

Je te propose ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29
http://fr.wikipedia.org/wiki/Adh%C3%A9rence_%28math%C3%A9matiques%29 (surtout la partie exemples )
Il suffit de chercher et tu auras pas mal d'idées

Salam,
La demonstration de "haiki55" est Bonne ya pas mieux

"A est dense dans B si l'adhérence de A est égale à B.
Autrement dit,tout voisinage d'un élément de B contient un élément de A.
Exemple:Q est dense dans IR.
Ce qui se traduit par "Tout intervalle ouvert de IR contient un rationnel".
L'une des méthodes consiste à montrer que tout élément de B est la limite d'une suite d'éléments de A."