Fonctions !!

Après avoir constaté le besoin de quelques membres aux exercices de fonctions , et vu l'approche imminente d'un deuxième devoir de maths , j'ai décidé de postuler des exercices de fonctions , je continuerai a étoffer le sujet au fur et à mesure que les membres résoudront les exercices , si quelqu'un dispose d'un exercice bien intéressant en fonctions , prière me l'envoyer en MP ou le postuler directement si tout les exercices postés sont corrigés .

Exercice 1 :

Soit la fonction f(x) = -x² + 3x +4
1)- MQ f est une fonction " makboura"
2)- est ce que f admet une valeur maximale ?
3)- MQ f est une fonction non masghoura .

Exercice 2 :
soit F la fonction définie par : f(x) = (|x|+1) / (x² +1)
1)- Oudrouss zawjiate F .
2)- MQ F est réduite sur ]-oo , -1]U[1 , +oo[
3)-Etudiez " RATABATE " F sur les 2 intervalles : ]-1+V2 , +oo[ et [0,-1+V2]
4)- donnez le tableau de variation de F sur IR , déduire " AL MATARIF "

Exercice 3 :
Soit f l'application défnie par :
f : IR-{1} ---> IR
x |---> x/(x+1)
1)- MQ : f(x) =/= 1 quelque soit x de IR -{1}
2)- Calculez FoF(x)
3)- Déduire que F "ta9aboul" de IR-{1} vers IR-{1} et précisez ta9aboul l3aksi .

Je rajouterais des exercices quand au moins 2 seront résolus , GOOD LUCK !

xD j'ai tout écrit et quand j'ai voulu envoyer tout a été supprimé
Bon je recommence mais sans détails cette foiis


Exercice 1:
1/ makboura sur 25/4
2/ tableau de variation : valeur maximale f(3/2)
3/ elle est croissante puis décroissante => non masghoura

Exercice 2:
1/ zawjiya
2/ f est makboura sur 1
3/ dans IR + |x|=x donc taux de variation et ce qui suit est bien clair un TC peut le faire
4/ meme chose ...

Exercice :
1/ si f(x) =1 => 0=1 contradiction
2/ fof(x) = x/(2x+1)
3/ f est ta9aboul et f-1(x) = x/(1-x)

En attente d'exercices plus corsés ...
Merci !!

Mehdi.O a écrit:

Exercice 1:
1/ makboura sur 25/4
2/ tableau de variation : valeur maximale f(3/2)
3/ elle est croissante puis décroissante => non masghoura

Exercice 3 :
3/ f est ta9aboul et f-1(x) = x/(1-x)

Rouge : la question était de démontrer qu'elle est makboura ,méthodiquement , et non pas donner sa valeur .
Bleu : Je voudrais des détails sur la déduction si possible .
Vert : si on désigne l'intervalle ]-oo , 3/2] , F sera t-elle masghoura ? si oui , peux-tu donner la valeur ? merci d'avance

Pour l'exercice 3:
J'ai déduit que F ta9aboule sans utilisé la question 2 je poste la réponse ??

Bonsoir
Premier exercice :
1- Montrons que f est une fonction majoré
on a f(x)= -x²+3x+4=-[(x-3/2)² -25/4]
on sait que (x-3/2)²>= 0 ==>(x-3/2)²-25/4 >=-25/4
==> -[(x-3/2)²-25/4] =<25/4
==> f(x) =<25/4
donc f est une fonction majorée avec le nombre 25/4
2- Pour que f admet une valeur maximal il faut que deux conditions soient vérifiées
f(x) =< 25/4
et f(x) = 25/4 admet une solution
f(x) =25/4 <=> -x²+3x+41/4=0
Delta >0 donc l'équation admet deux solutions ....

===> f admet 25/4 comme valeur maximal
3- Raisonnement par absurde
Supposons que f est une fonction minorée
Donc quelque soit x de lR , E?m / f(x) >= m
f(x) >=m
==> (x-3/2)²-25/4 =<-m
==> (x-3/2)² =<25/4 -m
==> l x-3/2 l =<V(25/4-m)
==> x=<V(25/4-m) +3/2 ( pcq -V(25/4-m) +3/2 =<x=<V(25/4-m) +3/2)
prenons x= V(25/4 -m) +5/2 donc 5/2=<3/2 ce qui est faux
donc f est une fonction non minorée

Mlle Betty a écrit:

Bonsoir
Premier exercice :
1- Montrons que f est une fonction majoré
on a f(x)= -x²+3x+4=-[(x-3/2)² -25/4]
on sait que (x-3/2)²>= 0 ==>(x-3/2)²-25/4 >=-25/4
==> -[(x-3/2)²-25/4] =<25/4
==> f(x) =<25/4
donc f est une fonction majorée avec le nombre 25/4
2- Pour que f admet une valeur maximal il faut que deux conditions soient vérifiées
f(x) =< 25/4
et f(x) = 25/4 admet une solution
f(x) =25/4 <=> -x²+3x+41/4=0
Delta >0 donc l'équation admet deux solutions ....

===> f admet 25/4 comme valeur maximal
3- Raisonnement par absurde
Supposons que f est une fonction minorée
Donc quelque soit x de lR , E?m / f(x) >= m
f(x) >=m
==> (x-3/2)²-25/4 =<-m
==> (x-3/2)² =<25/4 +m
==> l x-3/2 l =<V(25/4+m)
==> x=<V(25/4+m) +3/2 ( pcq -V(25/4+m) +3/2 =<x=<V(25/4+m) +3/2)
prenons x= V(25/4 +m) +5/2 donc 5/2=<3/2 ce qui est faux
donc f est une fonction non minorée

Il y a une faute d'innatention dans ce qui est en bleu.
Si on réctifie la premiére faute on retombe en ce qui est en rouge, Et si m>=25/4 donc x est neçessairement égale à 3/2 ==> et donc m=25/4 donc t'as tombé dans la premiére question : )
Il suffit de montrer qu'elle est décroissante sur un intervalle qui appartient à IR, donc il n'existerais pas une valeur minimal.

Bonjour ! Marjani c'est édité

M.Marjani a écrit:

Il suffit de montrer qu'elle est décroissante sur un intervalle qui appartient à IR, donc il n'existerais pas une valeur minimal.

c'est totalement faux ce que tu viens de dire , si elle est décroissante de ]-oo , a ] puis croissante de [a , +oo[ f aura une valeur minimale , il faudrait plutot dire qu'elle est croissante puis décroissante et dans ce cas là c'est juste

Mim a écrit:

M.Marjani a écrit:

Il suffit de montrer qu'elle est décroissante sur un intervalle qui appartient à IR, donc il n'existerais pas une valeur minimal.

c'est totalement faux ce que tu viens de dire , si elle est décroissante de ]-oo , a ] puis croissante de [a , +oo[ f aura une valeur minimale , il faudrait plutot dire qu'elle est croissante puis décroissante et dans ce cas là c'est juste

Il ne faut pas négliger les questions qui précedent voire les données. a=-1<0 alors La téte de la courbe serait en haut, t'as déjà démontrer que f addmet une valeur maximal donc il suffit de démontré que f est décroissante sur
[-b/2a ,+00[ pour déduire qu'il n'existe pas de valeur minimal pour f. : )

Oui je sais mais tu as évoqué la regle générale alors je n'ai fais que la rectifier pour que les membres ne soient pas confus , mais je comprend ce que tu voulais insinuer

salamo3alaykom

ça sera plus simple si on dit que a=-1 < 0 donc l'hyperbole et décroissant , ce qui donne qu'il n' est pas minorée

mais j'ai essayé de faire le raisonnement suivant :

bon supposant que la fonction est minorée , donc

( E m appart.à /R ) ( V x E R ) f(x) >= m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) 8-f(x) <= 8 - m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) x²-3x+4 <= 8-m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) x²-2x+4 <= 8-m+x

on pose : x = m-8 ; donc

x²-2x+4 <= 8-m +m-8 <=> x² -2x+4 <= 0

Absurde ( V x E R : x² -2x+4 > 0 ( delta <0) )


et donc la fonction est non minorée

Amicalement !!

nami.ne a écrit:

salamo3alaykom

ça sera plus simple si on dit que a=-1 < 0 donc l'hyperbole et décroissant , ce qui donne qu'il n' est pas minorée

mais j'ai essayé de faire le raisonnement suivant :

bon supposant que la fonction est minorée , donc

( E m appart.à /R ) ( V x E R ) f(x) >= m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) 8-f(x) <= 8 - m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) x²-3x+4 <= 8-m

<=> exist. m appart. à R ) ( V x E R ) x²-2x+4 <= 8-m+x

on pose : x = m-8 ; donc

x²-2x+4 <= 8-m +m-8 <=> x² -2x+4 <= 0

Absurde ( V x E R : x² -2x+4 > 0 ( delta <0) )


et donc la fonction est non minorée

Amicalement !!

La démarche n'est pas totalement correcte. Il faut dire plutot que ( V x £ R ) ( E! m £ R ): f(x) >= m. Car m est stable : )
Donc tu n'as pas le droit de poser x=m-8 méme si ( V x £ R ) ( E m £ R ): f(x) >= m .

salut M. Marjani

peut-tu m'expliquer pour quoi j'ai pas le droit de mettre x = m-8

sachant qu'on a quelque soit x DE R

et merci pour la réponse

nami.ne a écrit:

salut M. Marjani

peut-tu m'expliquer pour quoi j'ai pas le droit de mettre x = m-8

sachant qu'on a quelque soit x DE R

et merci pour la réponse

Car c'est plutot (V f(x) £ Df)(E m £ Df): f(x)=m : )

tu voulais dire ( V x £ Df ) ,??

Oui nami c'est le cas , une faute inattention surement !

Bon , vu que les exercices postulés en dessous ont été résolu je vous en propose d'autres :

Exercice 4 :
soit f(x) = |x²-4|+|x²-9|
1)- Précisez Df
2)- Dessinez (Cf) dans (O,i,j) ( donnez la méthode effectuée pour faire le dessin )
3)- Discutez selon les valeurs du nombre réel K , le nombre de solutions pour f(x) = K .

Exercice 5 :
Soit f(x) = V(x+3) - Vx
1)-MQ quelque soit (a,b) £ (IR+)² ; V(a+b) =< Va + Vb
2)-MQ f est majorée par V3 et minorée par 0
3)-est ce que V3 est une valeur maximale pour F ? est ce que 0 est la valeur minimale de F?
4)-Soit a et b deux éléments avec a=/=b de IR+* :
MQ : [f(a)-f(b)] / ( a-b) = - f(a) +f(b) / (V(a+3) + V(b+3) ) (Va+Vb)
5)-Déduire que F tana9oussia sur IR+
6)-MQ l'équation : V(x+3) -V(x) -x^3 = 0 accepte une seule et unique solution dans IR+ ( vous pouvez calculer f(1) )
7)-MQ F tatbi9 tabayouni
Est ce que F tatbi9 choumouli ?
Soit l'application G tel que :
G: IR+ --> [0,V3]
x |--> g(x) = f(x)
Mq g est surjective et donnez ta9aboul l3aksi .
9)- Soit H la fonction définie par : h(x) = (x-1)/(x+1)
Donnez le tableau de variation de H
Montrer que quelque soit X de Dh ; H(x) = 1 - 2/(x+1)
MQ : quelque soit x £ ]-oo , -1[ ; h(x) £ [1,+oo[
10)- En utilisant morrakab deux fonctions , donnez le tableau de variation de la fonction D tel que D = V2(2x+1) / x+1 - V(x-1) / (x+1)

PS : la racine englobe l bast et l ma9am !

Exercice 6 :

I)-Soit f(x) = x^3 + x² + x
1)- MQ : pour tout ( x ,y ) de IR² : x² +x(y+1) + y²+y+1 > 0
2)- Déduire que F est croissante sur IR
3)- Déduire que l'équation f(x) = 3 a une seule solution , laquelle ?
II) - soit la fonction g tel que g(x) = V(10-x)
1)- Donnez Dg et étudiez taghayourat G
2)- Déduire que l'équation f(x) = g(x) a une seule solution , laquelle ?
III)-Soit h(x) = (Vx + x + 1)/xVx
1)- Donnez Dh
2)- MQ : quelque soit x de Dh ; h(x) = f(1/Vx)
3)- Déduire rataba de H sur Dh

Exercice 7 :
Soit la fonction f tel que f(x) = 1/2 + x + 1/(x²+1)
1)- Etudiez les variations de f sur IR
2)- Déduire que : (Ax £ IR+) : 1/(x+2) + V(x+1) >= 3/2

Bonsoir
Solution de L'exercice 6:
I)
1-Utilisations de Delta 2fois
1° Delta = -(3y²+2y+3)
2° Delta de 3y²+2y +3 : Delta2= 4-12*3<0
==> 3y²+2y+3>0
==> delta1 <0 ====> x²+x(y+1)+y²+y+1 >0
2- considérons x et y de lR ac x#y
Tf= f(x)-f(y)/x-y=(x-y)(x²+xy+y²+x+y+1)/(x-y) =x²+x(1+y)+y²+y+1 >0
Donc f est croissante sur lR
3-f(x)=3 <=> x^3+x²+x-3=0
<=> (x-1)(x²+2x+3)=0
<=> x=1 ou x²+2x+3=0
Delta <0 l'equation de x²+2x+3 n'admet aucune solution
<=> x=1
CQFD
II) 1- Dg=]-oo ; 10]
g est décroissante sur ]-oo; 10]
2- x=1 [f(1)=g(1)]
III)
1-Dh=]0;+oo[
2- x£lR*+
f(1/Vx) = (1/Vx)^3 +(1/Vx)² +(1/Vx)=1/xVx +1/x +1/Vx = (1+Vx +x)/xVx =g(x)
CQFD
3- considerons x et y de lR*+ ac y>x
y>x ==> Vy > Vx ==> 1/Vy < 1/Vx ===> f(1/Vy)<f(1/Vx) (pccq f est croissante sur lR)
==> h(y) <h(x)
==> h est décroissante sur lR*+

Je fais un petit up du sujet pour inviter les membres a répondre , les exercices postulés étant intéressants pour la préparation d'un futur examen en fonctions qui se profile dejà chez quelques uns

Jai pas compris La question de Lexo , Montrez Que F réduite ? ça veut dire Ma7duda ?

3)- Déduire que F "ta9aboul" de IR-{1} vers IR-{1} et précisez ta9aboul l3aksi .
On est supposé Se servir de fof , Si oui ? svp précisez comment ?