Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 calculez 1+22+111+2222+11111+...

Aller en bas 
AuteurMessage
Fermat-X
Maître
Fermat-X

Masculin Nombre de messages : 99
Age : 26
Date d'inscription : 22/11/2008

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyVen 19 Nov 2010, 17:18

1+22+111+2222+11111+...+1...1(n-1 fois) +2...2(n fois)= ?

ce probléme est creé par moi, alors svp n'hésitez par à chercher avec moi

merci

Revenir en haut Aller en bas
Othmaann
Expert grade1


Masculin Nombre de messages : 444
Age : 27
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 15/12/2009

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyVen 19 Nov 2010, 18:17

Bonjour,
Il est facile de remarquer que n est paire.

Sinon une idée :
22 + 2222 + ... +2...2 (nfois) = 2 (11 + 1111 + ... + 1...1(nfois))
sans oublier que 1...1(nfois) = 1 + 1.10 + 1.10^2 + ... 1.10^n.

Avec ça , je pense qu'on résout le problème!


Dernière édition par Othmaann le Ven 19 Nov 2010, 20:46, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
amazigh-tisffola
Expert grade1
amazigh-tisffola

Masculin Nombre de messages : 487
Age : 35
Localisation : kelaa m'gouna
Date d'inscription : 01/10/2010

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyVen 19 Nov 2010, 20:24

salam:

dans cette expression :1+22+111+2222+11111+...+1...1(n-1 fois) +2...2(n fois)
il y a n/2 termes en 2 et n/2 termes en 1.

1+111+....+111...11 (n-1 fois de 1) :n/2 termes
22+2222+....+222..22(n fois de 2) :n/2 termes

reste que les calcules

tanmirt
Revenir en haut Aller en bas
mizmaz
Maître


Masculin Nombre de messages : 234
Age : 26
Date d'inscription : 24/10/2009

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyVen 19 Nov 2010, 20:26

Othmaann a écrit:
Bonjour,
Je pense qu'il y' a une erreur dans ton exercice , je m'explique :
ta somme commence par 1 et fini par 2...2 (n fois) => n impaire
les termes constitués de 2 ont un nombre de chiffre paire => n paire

Donc pour que ta somme ai un sens , il faudrait qu'elle se termine par des 1. (sauf erreur)

Sinon une idée :
22 + 2222 + ... +2...2 (nfois) = 2 (11 + 1111 + ... + 1...1(nfois))
sans oublier que 1...1(nfois) = 1 + 1.10 + 1.10^2 + ... 1.10^n.

Avec ça , je pense qu'on résout le problème!
Si elle commence par 1 et finit par 2...2 (n fois), alors n est pair je crois.
Revenir en haut Aller en bas
Othmaann
Expert grade1


Masculin Nombre de messages : 444
Age : 27
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 15/12/2009

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyVen 19 Nov 2010, 20:49

Tu as raison , précipitation ...
C'est édité. Sinon pour la méthode je pense que c'est ça.
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 25
Date d'inscription : 05/03/2010

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyJeu 09 Déc 2010, 13:12

mizmaz a écrit:
Si elle commence par 1 et finit par 2...2 (n fois), alors n est pair je crois.

Oui déjà en étudiant la répitition du 1 dans la suite: 1+22+111+2222+11111+...+1...1(n-1 fois) +2...2(n fois). On remarquera que (n-1 fois) est impair donc n est pair. Wink

Puisque 2(11 + 1111 + 111111 + ... + 111...111)(n fois) est égale:
=2(10+1000+100000+...+100.000 (les 0 se répetent n-1 fois) + (1 + 111 + 11111 + ... + 111..11(1 se rep n-1 fois)
=2(10 + 10*10^2 + (10*10^2)*10^2 + ... + 10^{n-1}) + a)

Il suffit de calculer a=(1 + 111 + 11111 +...+ 11..111 (n-1 fois)) Car S=a+2a+Cyg(T_n)+20=3a+Cygma(T_n)+20
Cygma(T_n) est somme d'une suite geométrique sa raison est q=10^2 et T_0=10*10²=10^3 façile à calculer.

Ce qui reste seulement à calculer c'est a=1 + 111 + 11111 +...+ 111..11(1 se rép. (n-1)fois) remarquer que:

9*1 + 1=10 ==> 1=(10-1)/9
9*111 + 1=10^3 ==> 111=(10^3-1)/9
.
.
9*111..11 (n-1 fois) + 1=10^{n-1} ==> 111..11 (n-1)fois = (10^{n-1}-1)/9

En sommant ces égalités de droite, on aura alors:

1+111+11111 +...+ 111..11 (n-1 fois) = (10^1+10^3+10^5+...+10^{n-1}) - (1+1+..(n/2 fois)..+1)/9

Pour Cyg(a_n)=10^1+10^3+10^5+...+10^{n-1} est une somme d'une suite geométrique, et sa raison est q=10^2 car a_{n+1}=10^2.a_n, calculable façilement.

Fini.



Dernière édition par M.Marjani le Jeu 09 Déc 2010, 22:03, édité 5 fois
Revenir en haut Aller en bas
mizmaz
Maître


Masculin Nombre de messages : 234
Age : 26
Date d'inscription : 24/10/2009

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyJeu 09 Déc 2010, 13:37

Et comment comptes-tu procéder pour calculer ?
Revenir en haut Aller en bas
M.Marjani
Expert sup
M.Marjani

Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 25
Date d'inscription : 05/03/2010

calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... EmptyJeu 09 Déc 2010, 14:41

mizmaz a écrit:
Et comment comptes-tu procéder pour calculer ?

J'ai édité le dernier message. Je dis que ce qui reste à calculer c'est 1+111+11111+...+111..11 ( 1 se rép.(n-1)fois)
Je vais procéder de la maniére suivante:

9*1 + 1=10 ==> 1=(10-1)/9
9*111 + 1=10^3 ==> 111=(10^3-1)/9
.
.
9*111..11 (n-1 fois) + 1=10^{n-1} ==> 111..11 (n-1)fois = (10^{n-1}-1)/9

En sommant ces égalités de droite, on aura alors:

1+111+11111 +...+ 111..11 (n-1 fois) = (10^1+10^3+10^5+...+10^{n-1}) - (1+1+..(n/2 fois)..+1)/9

Pour Cyg(a_n)=10^1+10^3+10^5+...+10^{n-1} est une somme d'une suite geométrique, et sa raison est q=10^2 car a_{n+1}=10^2.a_n, calculable façilement. Donc on va calculer une fois durant toute la démonstration Wink Calculant la somme de la suite geométrique 10^1+10^3+10^5+...+10^{n-1} et déduisant vitement la somme.

Et donc c'est fini.
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty
MessageSujet: Re: calculez 1+22+111+2222+11111+...   calculez 1+22+111+2222+11111+... Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
calculez 1+22+111+2222+11111+...
Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Divers-
Sauter vers: