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 olympiade

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AuteurMessage
rim hariss
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Féminin Nombre de messages : 524
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MessageSujet: olympiade   Dim 26 Nov 2006, 17:36

salut voila un autre exercice d'olympiade:
a,b,c sont des nombres strictement positifs
démontrez que
racine(2a/a+b) + racine(2b/b+c) + racine(2c/c+a) est inférieur ou égal 3.
aidez moi merci d'avance:lol!:
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benmedamine
Habitué


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MessageSujet: Re: olympiade   Dim 26 Nov 2006, 20:51

salut tout le monde c'est mon premier poste j'apprécie énormément vos efforts j'apprécie également l'organisation du site très organisé et les exercices sont très concentrés :
voila ce que je propose comme solution :
supposons que:
a<b<c
donc 2a<a+b et 2b<b+c et 2a<a+c
alors 2a/a+b<1 et 2b/b+c<1 et 2c/a+c<1
de meme pour les racines carrés, et on additionnant les membres de ces trois inégalités on a :
racine(2a/a+b) + racine(2b/b+c) + racine(2c/c+a) est inférieur ou égal 3
Je sais que c'est trop faible comme démonstration , mais j'aimerais tant adresser une question aux plus expérimentés:
est ce que ce "par symétrie des roles on donne que a<b<c" est admissible , personnellement je ne suis pas convaincu .
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rim hariss
Expert sup
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Féminin Nombre de messages : 524
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MessageSujet: réponse   Dim 26 Nov 2006, 22:15

non je crois que vous avez fait une faute benmadine
si on a a<b<c alors 2c>a+c donc 2c/a+c> et non pa inférieur
quelqu'un peut répondre stp? Sad
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mohamed
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MessageSujet: réponse   Lun 27 Nov 2006, 14:33

salut je pense que cet excercice ne peut po être résolu sauf si on considère qui A<B<C alors je pense que rim a oublié d écrire cela aux données
et benmedamine a raison
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: olympiade   Lun 27 Nov 2006, 16:36

benmedamine a écrit:

est ce que ce "par symétrie des roles on donne que a<b<c" est admissible , personnellement je ne suis pas convaincu .

l inegalite n est pas symetrique car si tu changes les roles de a,b , c tu trouves pas la meme inegalite

exemple :
a+b+c est symetrique car meme si tu changes les roles l expression ne change pas
par contre a+b-c n est pas symetriique car si tu changes les roles tu vas trouver une autre expression
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benmedamine
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MessageSujet: Re: olympiade   Lun 27 Nov 2006, 21:06

Oui exactement Mr Bel_jad5 c'est pour ca qu'a la particularité des exercices on considère et par symétrie des roles que :
a<b<c , ce n'est plutot pas logique mais on doit l'accepter.
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bel_jad5
Modérateur


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MessageSujet: Re: olympiade   Lun 27 Nov 2006, 21:15

t a pas compris ce que j ai dit, t a pas le droit de supposer que a>=b>=c que si l expression est symétrique.

f est une fonction symétrique si et seulement si le changement des roles ne change pas l expression c a d : f(a,b,c) = f(x,y,z) avec {x,y,z}={a,b,c}
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Lun 27 Nov 2006, 23:26

no mohammad c'était tout l'énoncé de l'exercice il n y avait ni a>b>c ni a<b<c.
il y a aucunes autres réponses? Exclamation
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abbas
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Date d'inscription : 25/11/2006

MessageSujet: solution à l'inégalité   Sam 02 Déc 2006, 23:23

L'inégalité est fausse. Il suffit de considérer : (a,b,c)=(1,2,3).

Elle l'est également fausse si on demande de démontrer l'inégalité pour les côtés de triangles. (1,2,3) en est la preuve.
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Dim 03 Déc 2006, 15:24

je crois que vous n'avez pa très bien compris l'exercice
racine de (2a/a+b) veut dire rac(2a)/rac(a+b).
de meme pour (2b/b+c) et (2c/c+a).
et puis j'ai vérifié l'inigalité pour (a,b,c)=(1,2,3) et j'ai trouvé qu'elle correcte car ça donne 2.935668643.....
et 2.935668643..... =<3
donc je ne sais pas pourquoi vous dites que l'inégalité est fausse Exclamation Exclamation Rolling Eyes
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abbas
champion de la semaine


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Date d'inscription : 25/11/2006

MessageSujet: solution   Dim 03 Déc 2006, 18:33

A Mlle Rim. T'as raison, j'ai mal lu l'exercice. En guise d'excuse voilà la solution:

1- Essayons d'abord de rendre l'inégalité symétrique

Il est facile de vérifier que les couples (a,b,c) et (1/b+c,1/c+a,1/a+b) sont classés dans le même ordre. Il en est évidemment de même pour les couples (racine(2a),racine(2b),racine(2c)) et (1/racine(b+c),1/racine(c+a),1/racine(a+b)).
D'après le théorème de réarangement, on a : A>=B
où B =racine(2a/a+b)+racine(2b/b+c)+racine(2c/c+a)
et A=racine(2a/b+c)+racine(2b/c+a)+racine(2c/a+b)
Il suffit donc de démontrer que A<=3
A étant symétrique. On a donc rendu le problème symétrique

2- Démontrons l'inégalité en profitant de l'homégénéité de A
A reste inchangé si on remplace (a,b,c) par (ta,tb,tc) pour t quelconque (>0).
A est donc homogène de degré 1.
on peut alors supposer que : a+b+c=1 (correspond à t=1/(a+b+c))).
Dans ce cas:
A=racine(2a/1-a)+racine(2b/1-c)+racine(2c/1-c)
= racine(2/(1/a-1))+racine(2/(1/b-1))+racine(2/(1/c-1)).

La fonction f:x--->racine(2/(1/x-1)) est concave sur >0,1< (sa dérivée seconde y est négative).
A = f(a)+f(b)+f(c)<=3*f((a+b+c)/3)=3f(1/3)=3

cqfd
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rim hariss
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MessageSujet: réponse   Dim 03 Déc 2006, 18:56

l'exuse est acceptée Smile et merci pour la réponse
mais jai des questions
la première partie je l'ai compris mais la deuxième jai pas saisi:
1) pourquoi vous avez mis a+b+c=1 ? parce qu'on ne la pas dans l'exercice.
2)comment vous avez sauté de :
rac(2a/1-a) à rac(2/(1/a-1)).
j'attends ta réponse et merci.
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abbas
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MessageSujet: éclaircissements   Dim 03 Déc 2006, 19:49

bsr RIM
1) pourqoui on a pris a+b+c=1?
C'est facile. A vrai dire ça n'ajoute pas grand chose à la démonstration de considérer a+b+c=S au lieu de a+b+c=1, sinon UNE TOUCHE D'ELEGANCE dans la démonstration.
Si je puis me permettre de donner des conseils, ayez ce réflexe : quand une inégalité est homogème, considérer a+b+c=1. Voici la preuve:
f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)
on prend t=1/(a+b+c). (a',b',c')=(ta,tb,tc) vérifie:
a'+b'+c'=1.
Donc au lieu de travailler avec (a,b,c), on travaille avec (a',b',c') puisque f(a',b',c')=f(a,b,c), qui a l'avantge de simplifier les calculs (a'+b'+c').

Tu peux reprendre la démonstration avec a+b+c=S. rien ne change. Mais c'est moins élégant.
2) 2a/(1-a)=2/(1/a-1)
Evident: on divise le dénominateur et le numérateur par la même valeur : a.
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mohamed diai
Maître


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MessageSujet: Re: olympiade   Sam 27 Sep 2014, 18:42

Désolé abbas mais la fonction n'est pas concave sur [1/3,1].l'inegalité que tu désires montrer n'est pas vérifiée pour (1/2,1/4,1/4) par exemple
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