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 exo pour les lycéens !!

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ali-mes
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MessageSujet: exo pour les lycéens !!   Dim 28 Nov 2010, 13:09

Soit ABCD un quadrilatère convexe tel que les points A,B,C,D sont les milieu respectif des segments DD',AA',BB',CC'
Calculez la surface du quadrilatère A'B'C'D' en fonction de la surface de ABCD

p.s= je crois qu'on va trouver S'=5S
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ali-mes
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MessageSujet: Re: exo pour les lycéens !!   Mer 01 Déc 2010, 18:25

dans le triangle D'AA' on a B le milieu de [AA'] donc S(D'AB)=S(D'A'B)
d'où S(D'AA')=2S(D'AB)
et dans le triangle BDD' on a A le milieu de [DD'] donc S(D'AB)=S(ABD)
d'où S(D'AA')=2S(ABD)

dans le triangle A'BB' on a C le mileu de [BB'] donc S(A'BC)=S(A'B'C)
d'où S(A'BB')=2S(A'BC)
et dans le triangle CAA' on a B le milieu de [AA'] donc S(ABC)=S(A'BC)
d'où S(A'BB')=2S(ABC)

dans le triangle B'CC' on a D le milieu de [CC'] donc S(B'CD)=S(B'C'D)
d'où S(B'CC')=2S(B'CD)
et dans le triangle DBB' on C le milieu de [BB'] donc S(B'CD)=S(BCD)
d'où S(B'CC')=2S(BCD)


dans le triangle C'DD' on a A le milieu de [DD'] donc S(C'AD)=S(C'AD')
d'où S(C'DD')=2S(C'AD)
et dans le triangle ACC' on a D le milieu de [CC'] donc S(AC'D)=S(ACD)
d'où S(CDD')=2S(ACD)

d'autre part on a :
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+S(D'AA')+S(A'BB')+S(B'CC')+S(CDD')
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2S(ABD)+2S(ABC)+2S(BCD)+2S(ACD)
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2[S(ABD)+S(BCD)]+2[S(ABC)+S(ACD)]
S(A'B'C'D')=S(ABCD)+2S(ABCD)+2S(ABCD)
d'où
S(A'B'C'D')=5S(ABCD)

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exo pour les lycéens !!
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