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 Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)

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ali-mes
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MessageSujet: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyLun 06 Déc 2010, 11:36

j'ai l'honneur de vous annoncer le début d'un nouveau jeu dans le but de préparer les olympiades de cette année.
les conditions de participer sont très simples:
1)- poster le problème en indiquant son numéro.
2)- celui qui a trouvé la réponse, il doit poster un autre problème. Mais si la solution n'est pas trouvée pendant 48 heure, celui qui a posté le problème doit poster une réponse.
3)- on est tous ici pour apprendre, donc, les taupins n'hésitez pas à nous enrichir avec vos suggestions et conseilles.
4)- si quelqu'un postera un problème qui existe déjà dans le forum. il est préférable de poster le lien dans-lequel on peut trouver la réponse.

Enfin, je vous propose ces 2 exos:

Problème 1:
a, b et c trois nombres réels strictement positifs tel que a =< b =< c
M.Q: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif

Problème 2:
soient x, y et z trois réels strictement positifs tel que: x+y+z=1.
M.Q: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyLun 06 Déc 2010, 21:02

bsr!!
je commence Smile
pour le problème 1 pas besoin d'ajouter la condition sur a,b et c puisque l'inégalité est symétrique.
voila la solution de toute façon:
poser x=b+c , y=a+c et z=a+b alors remarquer que :y+z=2a+z et ainsi de suite
Donc si on pose le membre de gauche S on aura
2S+3=(y+z)/x+(z+x)/y+(x+y)/z=(y/x+x/y)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 2+2+2=6
D'ou l'négalité Smile
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyLun 06 Déc 2010, 21:40

voila ma méthode pour le 1er problème:
on a Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
d'où Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
alors Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
d'où Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
alors Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
d'après l'inégalité de Chebyshev on a
donc Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
donc Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
d'où le résultat
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif

CQFD


Dernière édition par ali-mes le Lun 06 Déc 2010, 21:43, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyLun 06 Déc 2010, 21:42

c'est bien, mais j'ai pas encore fini Very Happy

je continue pour le problème 2
remarquer que: z+xy=z(x+y+z)+xy=(z+x)(z+y)
donc racine(xy/z+xy)=racine(xy/(z+x)(z+y) <=1/2(z/(z+x)+z/(z+y))
et on fait la mm chose pour les autre termes, on obtient l'inégalité en sommant.

c'est à mon tour maintenant de poser un probleme et cette fois ça ne sera pas une inégalité, mais un exercice pas facile en arithmétique, mais de solution très courte, alors essayer de vos mieux pour trouver une solution:
voila le problème
trouver toutes les solutions dans N*xN*xN* de l'équation:
4xy-x-y=z^2

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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 12:40

exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 12:43

mais il faut répondre à l'exo posé d'abord, il faut respecter les règles du jeux Very Happy
(pour ton exercice,c'est une somme télescopique )
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 12:49

voila sa vient:
voila les données

http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{n}=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}

et calculez S (1,2,3,4,5..... sont en indice Wink)

bonne chance
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 12:51

ah dezo ^^
jgo essaye, j'ai po vu
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 13:38

supista a raison il faut d'abord répondre au problème qu'il a posté Very Happy
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:00

la reponse est: il n'y a pas de solution (x,y,z) dans NxNxN .
pour la démonstration je la met dans quelques instants .
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:23

je crois qu'il faut au moin ZxZxZ pour pouvoir écrir 4xy-x-y en forme de carré complet
non?? alien
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:30

?????????????????? Neutral
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:32

bah je peux t'affirmer qu'il n'y a pas de solution si les variables sont des entiers positifs, j'ai une solution qui ne fait pas intervenir des inégalités ou des raisonnements genre analytique, mais que de l'arithmétique élémentaire et des manipulations algébriques


Dernière édition par supista le Mar 07 Déc 2010, 15:40, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:35

j'ai deux question pour vous klk1 ki pe me dire c koi l'inégualité de Chebyshev et klk1 ki peut me donner une solution détaillée pour le 2eme probleme ......
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:41

l'inégalité de Chebyshev:
Soit
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?x_{1};x_{2};x_{3}.. et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?y_{1};y_{2};y_{3}.. des réels strictement positifs. tel que Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?x_{1}\leq%20x_{2}\leq%20x_{3}\leq%20.. et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?y_{1}\leq%20y_{2}\leq%20y_{3}\leq%20..
d'après l'inégalité de Chebyshev on a Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n})(y_{1}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n})\leq%20n(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+..


Dernière édition par ali-mes le Mar 07 Déc 2010, 15:58, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:44

supista a écrit:
bah je peux t'affirmer qu'il n'y a pas de solution si les variables sont des entiers positifs, j'ai une solution qui ne fait pas intervenir des inégalités ou des raisonnements genre analytique, mais que de l'arithmétique élémentaire et des manipulations algébriques

cela est fort logique, il n y a pas de contre example,cheers
grosse erreur de ma part Embarassed Smile
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:49

je vais attendre jusqu'à cette nuit, si personne ne peux parvenir à trouver une solution, je vais poster ma solution incha2alah, avec un autre problème Smile , je vous laisse essayer j'ai maintenant un cours, bonne chance
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:52

ma méthode pour le 2eme problème:
on a z+xy=z(x+y+z)+xy=xz+yz+z²+xy=(x+z)(y+z)
d'où Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
et d'après IAG on a: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
de la même façon on démontre que Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
en sommant en trouve que Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:52

thx, on essayera Smile
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:54

ali-mes a écrit:
l'inégalité de Chebyshev:
Soit
Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?x_{1};x_{2};x_{3}.. et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?y_{1};y_{2};y_{3}.. des réels strictement positifs.
d'après l'inégalité de Chebyshev on a Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif.latex?(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n})(y_{1}+y_{2}+y_{3}+...+y_{n})\leq%20n(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+..

ali-mes a écrit:
ma méthode pour le 2eme problème:
on a z+xy=z(x+y+z)+xy=xz+yz+z²+xy=(x+z)(y+z)
d'où Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
et d'après IAG on a: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
de la même façon on démontre que Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
et Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif
en sommant en trouve que Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Gif


merci bcp ali-mes pour l'explication ! flower flower flower flower
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 15:59

j'ai édité le 1er message ==== (faute d'inattention) Razz
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 18:19

A446 a écrit:
exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.


An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)
An=(rac(n).(n+1)-n.(n+1))/((n).(n+1)²-n^2.(n+1))
=(rac(n).(n+1)-n.rac(n+1))/n(n+1)
=1/rac(n) - 1/rac(n+1)
A1 = 1 - 1/rac(2)
A2 = 1/rac(2) - 1/rac(3)
.
.
.
A99 = 1/rac(99) - 1/10
donc S = 1 - 1/10 = 9/10
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 18:37

l'exo que A446 est facile. celui de soupista est un peu compliqué !!!
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 18:51

d'après mes recherces c'est une equation diophantine , mais aprés plusieurs modulations je n'ai toujours pas trouvé une solution arithmétique study
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) EmptyMar 07 Déc 2010, 19:04

abdelkrim-amine a écrit:
A446 a écrit:
exo :

on donne: An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)

calculez:
S=A1+A2+A3+A4+A5+A6+........+A99

P.S:désolé, je ne maitrise pas Latex xD.


An=1/(rac(n).(n+1)+n.rac(n+1)) (n en indice)
An=(rac(n).(n+1)-n.(n+1))/((n).(n+1)²-n^2.(n+1))
=(rac(n).(n+1)-n.rac(n+1))/n(n+1)
=1/rac(n) - 1/rac(n+1)
A1 = 1 - 1/rac(2)
A2 = 1/rac(2) - 1/rac(3)
.
.
.
A99 = 1/rac(99) - 1/10
donc S = 1 - 1/10 = 9/10

jolie coup, c'est bon Very Happy
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MessageSujet: Re: Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011)   Préparations aux olympiades de tronc commun (2010-2011) Empty

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