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 techniques olympiade:2

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bel_jad5
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MessageSujet: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyLun 27 Nov 2006, 19:14

slt tout le monde.
je commence cette partie par un petit rappel de ce qu on a fait avant, c est a dire la première technique :

rappel:
x²>0 pour tout x de R
a²+b²>=2ab
a+b>=2rac(ab)


la première technique nous donne la relation entre la somme de 2 nombres (a+b) et leur produit (ab) , cette relation est a+b>=2rac(ab)

question: est ce qu on peut généraliser ce résultat à n nombres ? si oui comment ?
nous commençons cette technique par une petite définition : racine n éme
racine n ème est celui qui absorbe la puissance n éme , ça s écrit ^(1/n)

exemple:
4^(1/2) = (2²)^(1/2) = 2 ( ^(1/2) absorbe le carré )
(6^5)^(1/5)=6 ( ^(1/5) absorbe la puissance 5 ème )

j espère que vous avez compris ce que ça vous dire racine n ème !
ne pas lire la suite si vous avez pas compris cette introduction !


deuxième tachnique: inégalité de la moyenne
(la somme de n nombres) >= n (produit de ces nombres )^(1/n)

mathématiquement :
techniques olympiade:2 3bbd96b297df0d86475df477611cd196

j espère que vous avez compris cette deuxième technique

Exercices :
1) soit x > 0 , montrer que x+1/x>=2

2) soient a>0 b>0 montrer que a/b+b/a>=2

3)soit a,b,c >0 tel que abc=1
montrer que a+b+c>=3

4)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

5) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10

6) soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n²

7) soient a , b et c >0 tel que abc=1
montrer que (ab+1)/(b+b²)+(bc+1)/(c+c²)+(ca+1)/(a+a²) >=3
indication: essayer de faire apparaitre c en (ab+1)/(b+b²) avant d appliquer la technique ...

8 ) montrer que pour tout n de N, on a :
(n+1)/2 >=(n!)^(1/n)
NB: n!=1*2*3*...*n

9) soient a, b et c des réels positifs, montrer que :
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

10) soient a, b et c trois réels strictement positifs, montrer que :
1/(a(a+b)) +1/(b(b+c))+1/(c(c+a))>= 27/(2(a+b+c)²)

indication : il faut utliser la moyenne trois fois !

tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )

a+


Dernière édition par le Dim 03 Déc 2006, 20:15, édité 5 fois
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 11:43

je vè rèpondre aux 3ème kestion car les autre j ai dèja fè dans la première tecnique on a (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac) et on a a²+b²+c²>=2(a+b+c)-3 ((a²+1>=2a)) et on a ab=1/c et bc=1/a et ac=1/b donc (a+b+c)²>=2(a+1/a +b+1/b +c+1/c)-3 et on a a+1/a +b+1/b +c+1/c>=6 (a+1/a>=2) donc 2(a+1/a +b+1/b +c+1/c)-3>=12-3=9 donc (a+b+c)²>=9 donc a+b+c>=3


Dernière édition par le Mar 28 Nov 2006, 13:42, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 13:20

1) x + 1/x -2 = (x²+1-2x)/x=(x-1)²/x
x>=0 => x+1/x-2>=0 => x+1/x>=0

2) a/b+b/a-2=(a-b)²/ab

3)saiif

4)a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3=a/b+b/a+a²/b²+b²/a²+a^3/b^3+b^3/a^3>=2+2+2>=6

5)a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=3ab+3cd+ad+ac+bd+bc>=3(ab+1/ab)+ad+1/ad++bd+1/bd>=6+2+2>=10

6)(la somme de n nombres) >= n (produit de ces nombres )^(1/n)
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 14:59

VOUS AVEZ RIEN COMPRIS

ESSAYER D UTLISER LA TECHNIQUE QUE J AI PROPOSE :

voila comment on l utilise :

abc=1 montrer que a+b+c>=3
on a : a+b+c>=3(abc)^(1/3)=3(1)^(1/3)=3

une ligne pas plus !
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 19:55

j ai l impression que vous avez pas compris cette deuxième technique

si vous avez des questions n hésiter pas à les poster, je vais essayer de vous répondre à partir de 22h

Essayer de comprendre cette technique, franchement elle est très efficace !

a+
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 20:10

oui j ai pas compris (n ème racine)je pense ke si tu ècris avec latex sa serais très bien et merci
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 21:16

racine nème x = x puissance 1/n
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MessageSujet: med   techniques olympiade:2 EmptyMar 28 Nov 2006, 21:32

slt a tout le monde
bn j'ai pas bcp de temps
mais je vais voir ca
et merci
Very Happy Very Happy Very Happy
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMer 29 Nov 2006, 18:00

salut commandant cheers
voilà la sollution que je proposes :
techniques olympiade:2 Solt3

en fait quelle technique cheers c'est une vrai puissante arme ! en effet
la resolution devient très rapide ! cheers

PS: url de l'image http://mabse.ifrance.com/img/solt3.PNG
techniques olympiade:2 34ec6896d33d6ac790294c8cf86e7fd5


Dernière édition par le Mer 29 Nov 2006, 18:10, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMer 29 Nov 2006, 18:06

dsl pour le retard j'ai pas vu le sujet hier
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMer 29 Nov 2006, 19:56

très bien oumzil je vais essayer d ajouter d autres exercices
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyMer 29 Nov 2006, 21:54

pour saiif : regarde la solution de cherif, et tu vas comprendre a quel point elle est facile et pratique !
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 19:44

salut ,
pour la question 7 :
techniques olympiade:2 Sye7
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 20:13

très bien oumzil , respect ...
eh les autres ! réveillez vous !
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MessageSujet: med   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 20:44

slt a tout le monde
c tres bien oumzil et les autres
voila un exo
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)>=3/2 avec abc=1
Very Happy Very Happy Very Happy
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 21:07

Pour cherif: t es sur qu on peut résoudre l inégalité que tu as proposé juste avec la technique 2...?
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MessageSujet: slt   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 21:11

slt a tout le monde
j une autre soll
mais je vais voir pr la technique
pour bel_jad
dans les techniques d'oly
c obligatoire de proposer des exo qui s'interresse aux techniques demannde
et merci
Very Happy Very Happy Very Happy
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 21:18

En fait ce que j essaye de faire c est de familiariser les personnes interessés avec les technique d olympiade, c est pour ça que je propose les techniques les plus classiques: les exercices que je propose donc ne sont qu une application directe du cours.
le jour ou ils vont tout assimiler, je vais essyer de poster des inégalités très dures, et je vais pas donner d indication, c est a eux de trouver la technique qui marche...
tu peux poster des inégaliés dures, mais il faut surtout que elles ont un minimum de rapport avec la technique, et n oublie pas de donner des indications, ça sera vraiment très sympa de ta part pirat
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MessageSujet: slt   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 21:27

slt a tout le monde
pour bel jad
merci bcp je vais proposer des exo
alors moi aussi je ss ton eleve
Very Happy Very Happy Very Happy
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bel_jad5
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 21:31

pas mal Very Happy
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MessageSujet: med   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 22:05

slt a tout le monde
mq qlq x,y,z reeles on a
x²+y²+1>xrac(y²+1)+yrac(x²+1)
et bn chance
Very Happy Very Happy Very Happy
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MessageSujet: slt   techniques olympiade:2 EmptyVen 01 Déc 2006, 22:17

slt a tout le monde
indications
remarqer que se trouve une moutatabiqua
Very Happy Very Happy Very Happy
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namoussa
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptySam 02 Déc 2006, 10:38

mq qlq x,y,z reeles on a
x²+y²+1>xrac(y²+1)+yrac(x²+1)

on a (rac(x²+1)-y)²>0
x²+1+y²>2yrac(x²+1)
et x²+1+y²>2xrac(y²+1)
alors 2x²+2y²+2> 2xrac(y²+1)+2yrac(x²+1)


donc x²+y²+1> xrac(y²+1) +yrac(x²+1)
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Oumzil
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptySam 02 Déc 2006, 12:33

salut cherif bon exercice mais je sais pas si t'as vu ca dans la technique 1 :
bel_jad5 a écrit:
chaque semaine, je vais essayer de developper une technique d'oympiade,...
...
8 ) soit x et y poistifs ,montrer que:
x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1)
...
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Oumzil
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MessageSujet: Re: techniques olympiade:2   techniques olympiade:2 EmptySam 02 Déc 2006, 12:41

o fait j'ai une idée bel_jad5 si tu veux tu peux donner la technique et les exercices et on t'envoie la sollution par messagerie et on poste : Sollution postée ( comme pour le problème de la semaine comme ca meme si on a du retard il sera toujours possiblede participer sans etre gêné par les sollutions des autres . Et pourquoi pas créer une autre partie dans le forum pour celà techniques olympiade:2 Icon_sunny
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