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 URGENT DEVOIR !

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YASS1NE
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MessageSujet: URGENT DEVOIR !   Lun 13 Déc 2010, 21:06

f(x)=Vx+1 - Vx-1


1-déterminez Df
2-Résoudre sur IR le système suivant:
Vx+1 - Vx-1 = z
Vx+1 + Vx-1=2/z

tel que z est un paramètre réel non nul

3) démontrez que f est bijective sur l'intervalle I=[1,+oo[ jusqu'a l'intervalle J qu'il faut préciser et déterminez
la bijection réciproque

Merci de me présenter une solution sans l'utilisation de limites.
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mar 14 Déc 2010, 12:18

YASS1NE a écrit:
f(x)=Vx+1 - Vx-1


1-déterminez Df
2-Résoudre sur IR le système suivant:
Vx+1 - Vx-1 = z
Vx+1 + Vx-1=2/z

tel que z est un paramètre réel non nul

3) démontrez que f est bijective sur l'intervalle I=[1,+oo[ jusqu'a l'intervalle J qu'il faut préciser et déterminez
la bijection réciproque

Merci de me présenter une solution sans l'utilisation de limites.


BJR YASSNE !!

On peut répondre à ton exo . Ce n'est pas un GROS problème MAIS on pourrait aussi faire cette réflexion à son sujet et là celà est destiné aux Concepteurs de l'exercice ......

Appelons
(1) l'équation rac(x+1) - rac(x-1) = z
et
(2) l'équation rac(x+1) + rac(x-1) = 2/z

ou z est un paramètre décrivant IR*

Il est CLAIR que (1) est EQUIVALENTE à (2) et celà vient de l'IDENTITE
{rac(x+1) - rac(x-1)}.{rac(x+1) + rac(x-1)}=2 pour tout x dans Df=[1;+oo[ .
Donc , Je ne vois pas pourquoi les Auteurs , en vue de la Question 3) vous font étudier un Système qui n'a pas lieu d'en être un !!!!!

Autant résoudre directement l'équation :
rac(x+1) - rac(x-1)=z ou x est l'inconnue ( dans Df ) et z dans IR+*

Si vous arrivez à la résoudre , vous aurez la réponse à 3) .

Amicalement . LHASSANE





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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mar 14 Déc 2010, 13:39

YASS1NE a écrit:
.....
2-Résoudre sur IR le système suivant:
(1) rac(x+1) - rac(x-1) = z
tel que z est un paramètre réel strictement positif .

BJR YASS1NE !!

Il faut bien noter que lorsque x est dans Df=[1;+oo[ on a x+1>x-1>0 donc
f(x)=rac(x+1)-rac(x-1)>0 donc le paramètre z est dans IR+* si vous voulez
trouver une ou plusieurs solutions de l'équation (1) ....

Et puis comment résoudre cette équation ???
On raisonnera par Condition Nécessaire , on élève AU CARRE pour obtenir
z^2=2.x-2.rac(x^2-1)
soit 2x-z^2=2.rac(x^2-1)
On élève de nouveau au CARRE pour obtenir
4.x^2 + z^4 -4.x.z^2=4.(x^2-1)
soit z^4 -4.x.z^2+4=0
d'ou x=(1/4).{z^2 +(2/z)^2}

On a donc exprimé x en fonction de z
MAIS il faudrait s'assurer que le x trouvé est bien SUPERIEUR à 1 c'est à dire x est dans Df ???
Pour celà on est amené à résoudre l'INEGALITE {z^2 +(2/z)^2} >=4

Or {z^2 +(2/z)^2}=(z + (2/z))^2 -4
donc l'écriture {z^2 +(2/z)^2} >=4 est EQUIVALENTE à {z +(2/z)}^2 >=8

qui est équivalente aussi ( puisque z est dans IR+* ) à z+(2/z) >=2.rac(2)
Cette inégalité est TOUJOURS VRAIE .....

Il ne faut OUBLIER NON PLUS que l'on doit avoir rac(x+1) - rac(x-1) = z !!!!!!

x+1=(1/4).{z^2 +(2/z)^2 + 4}=(1/4).(z+(2/z))^2
x-1 = ........................................=(1/4).(z-(2/z))^2

rac(x+1)=(1/2).(z+(2/z)) car z+(2/z) >0
rac(x-1)=(1/2).|z-(2/z)|

On devrait avoir (1/2).{(z+(2/z)) - |z-(2/z)|} =z
soit z+(2/z) - |z-(2/z)|=2.z d'ou |z-(2/z)|=(2/z)-z

CE QUI EST REALISE lorsque z<=(2/z) d'ou en conclusion 0<z<=rac(2)


RECAPITULATION : Pour tout z dans ]0;rac(2]
l'équation f(x)=z a une UNIQUE SOLUTION donnée par la formule x=(1/4).{z^2 +(2/z)^2}

et celà te prépare SINON te résoud COMPLETEMENT la Question 3)

Amicalement. LHASSANE
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YASS1NE
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mar 14 Déc 2010, 21:15

pour la bijection réciproque j'fais f^-1=(1/4.(x²+(2/x)²) j'change de variable c'est ça? Merci
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mar 14 Déc 2010, 21:20

YASS1NE a écrit:
pour la bijection réciproque j'fais f^-1=(1/4.(x²+(2/x)²) j'change de variable c'est ça? Merci

BSR YASS1NE !!

OUI ! C'est tout à fait celà :
f^(-1) applique J=]0;rac(2)] sur [1;+oo[
et f^(-1)(x)=(1/4).(x²+(2/x)²) pour tout x dans J .

LHASSANE
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YASS1NE
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 19:28

si tu veux te prendre la peine de voir la solution de amazigh tissfola sur "espace défi" car j'ai doublé de sujet par faute il a pas presenté la meme solution,merci cordialement
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 19:45

YASS1NE a écrit:
si tu veux te prendre la peine de voir la solution de amazigh tissfola sur "espace défi" car j'ai doublé de sujet par faute il a pas presenté la meme solution,merci cordialement

BSR YASS1NE !!
Bien sûr que j'ai été voir .....
Amazigh-tisfolla a procédé autrement , il a résolu à sa manière le système REDONDANT :

2-Résoudre sur IR le système suivant:
Vx+1 - Vx-1 = z
Vx+1 + Vx-1=2/z

et il a trouvé les résultats qu'il a trouvés ... Il lui appartient de revoir ses calculs et se rectifier s'il en a envie ...

Moi , J'ai procédé autrement ... J'ai résolu l'équation :
Trouver x dans Df vérifiant Vx+1 - Vx-1 = z avec z paramètre dans IR*+

et j'ai ainsi résolu les Questions 2) et 3) simultanément .
Voilà la DIFFERENCE !!

Amicalement . LHASSANE


Dernière édition par Bison_Fûté le Mer 15 Déc 2010, 19:59, édité 1 fois
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YASS1NE
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 19:48

BSR,BISON Very Happy

@ la 2eme question j'ai précisement dans la question discute et resous le systeme dans IR tel que z est un parametre reel non nul , ca change rien dans la procédure ?
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 20:10

YASS1NE a écrit:
BSR,BISON Very Happy

@ la 2eme question j'ai précisement dans la question discute et resous le systeme dans IR tel que z est un parametre reel non nul , ca change rien dans la procédure ?

Attention YASS1NE !!
Je m'appelle Bison_Fûté !!!
D'autre part :

Amazigh-tisfolla trouve :

x=1/4(2/z-z)^2+1 avec zdans ]0;rac(2)[

x=(1/4).{z^2+4/z^2-4+4)=(1/4).{z^2 + (4/z^2)}


et c'est la même chose que j'ai trouvé aussi ..... la petite erreur chez lui c'est z dans ]0;rac(2)[
au lieu de z dans ]0;rac(2)] .

Donc on est en accord avec amazigh-tisfolla ...

Amicalement . LHASSANE




Dernière édition par Bison_Fûté le Mer 15 Déc 2010, 20:57, édité 2 fois
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YASS1NE
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 20:24

HAHAHA Very Happy BIEN Bison_Fûté,merci pour le temps que vous m'avez accordé Wink
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: URGENT DEVOIR !   Mer 15 Déc 2010, 20:58

YASS1NE a écrit:
HAHAHA Very Happy BIEN Bison_Fûté,merci pour le temps que vous m'avez accordé Wink

Je t'en prie !!

Je comprends pourquoi tu as ri ...
J'ai rectifié ( je ne l'ai pas fait exprès !! )
LHASSANE
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