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 Un Problème Amusant de Dénombrement ....

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Bison_Fûté
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MessageSujet: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Jeu 16 Déc 2010, 12:25

BJR à Toutes et Tous !!

Voilà un exo de Dénombrement pour tous niveaux ....

Vous disposez de n pièces de 1DH , en allant à la Mosquée faire Votre Prière , il y a p Mendiants .
De combien de manières pouvez-vous faire acte de Charité en faisant plaisir à tous les Mendiants ????

Le Problème suppose bien sûr que 1<=p<=n et que n et p sont fixes .
Aucune contrainte d'Equité n'est faite ....

Amicalement . LHASSANE


PS : ce problème a été posé d'une autre manière dans le Salon des Prépas par boujmi3 ICI :
http://mathsmaroc.jeun.fr/t17208-denombrement-astucieux
Naturellement , j'aimerais une Solution élémentaire ....
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supista
Féru


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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Jeu 16 Déc 2010, 21:18

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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Ven 17 Déc 2010, 17:52

BSR supista !!

J'ai lu et relu plusieurs fois ta réponse pour essayer d'y déceler l'anomalie ...
Parceque ton résultat final ne concorde pas avec ce qui est EXACT : il s'agit ICI de combinaisons avec répétitions .

Je suis d'accord que si tu donnes 1 DH à Mendiant1 , on aura K(n-1;p-1) répartitions
Mais si tu lui donnais k DH avec 2<=k<=(n-p+1) , il te resterait seulement (n-k) DH à répartir parmi les autres donc K(n-k;p-1) répartitions .....
et comme k varie ... Tu vois ou celà peut conduire !!

K(n;p)= SIGMA { k=1 à n-p+1 ; K(n-k;p-1) } ?????

Amicalement . LHASSANE
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supista
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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Ven 17 Déc 2010, 18:38

Bonsoir
Merci de me l'avoir signalé, j'ai fait une erreur,mais il ne s'agit pas exactement de formule de combinaisons avec répétitions, en effet le nombre des combinaisons avec répétitions est le nombre de solutions de l'equation:
x_1+x_2+..+x_p=n, avec les certains x_i peuvent etre nuls
Mais dans notre problème on a une équation de type a_1+..+a_p=n, avec les a_i ne sont pas nuls...De plus si on pose a_i-1=x_i on se ramène au problème de combinaisons avec répétition suivants: x_1+x_2+..+x_p=n' avec n'=n-p et l'applications de la formule de combinaisons avec répétition donne K(n,p)=C(n'+p-1,n')=C(n-1,n-p)=C(n-1,p-1).(1)
Donc la formule K(n,p)=K(n-1,p-1)+K(n-1,p)(2) est juste l'erreur était dans la déduction de la formule de K(n,p) par récurrence.
Pour ta remarque, je suis d'accord,il s'agit d'une autre façon de dénombrer, alors ça ne contredit pas avec les formules (1) et (2), je pense qu'un démonstration par récurrence, en se basant les formules (1) et (2) sur pourra éclaircir ce point.
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Ven 17 Déc 2010, 18:59

BSR supista !!

Merci beaucoup pour ta réponse ....
Je veux bien te croire et selon Toi , la formule serait K(n;p)=C(n;p) n'est ce pas ?!!
Et pour n=7 et p=3 par exemple , celà donnerait K(7;3)=35

J'ai traité à la main ce cas , juste pour voir ....

n=7 DH
p=3 Mendiants

Mendiant1 : on lui donne 1DH reste à répartir 6DH comme suit
(1,5);(2,4);(3,3);(4,2) ou (5,1)
Mendiant1 : on lui donne 2DH reste à répartir 5DH comme suit
(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)
Mendiant1 : on lui donne 3DH reste à répartir 4DH comme suit
(1,3);(2,2);(3,1)
Mendiant1 : on lui donne 4DH reste à répartir 3DH comme suit
(1,2);(2,1)
Mendiant1 : on lui donne 5DH reste à répartir 2DH comme suit
(1,1) c'est tout !!!

En conclusion , celà fait 15 Répartitions possibles !!!


Alors pourquoi cette différence ???
C'est celà qui me chiffonne un peu !!!!

Amicalement . LHASSANE
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supista
Féru


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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Ven 17 Déc 2010, 19:08

non c'est K(n,p)=C(n-1,p-1) Smile il y a une faute dans la fin de la démonstration, (dans mon premier poste) il fallait vérifier les valeurs initiales avant de se lancer dans une démonstration par récurrence, mais K(n,p)=K(n-1,p-1)+K(n-1,p) est vraie, j'ai déjà mentionné ça dans mon message précédent .
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Bison_Fûté
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MessageSujet: Re: Un Problème Amusant de Dénombrement ....   Ven 17 Déc 2010, 19:14

supista a écrit:
non c'est K(n,p)=C(n-1,p-1) Smile il y a une faute dans la fin de la démonstration, (dans mon premier poste) il fallait vérifier les valeurs initiales avant de se lancer dans une démonstration par récurrence, mais K(n,p)=K(n-1,p-1)+K(n-1,p) est vraie, j'ai déjà mentionné ça dans mon message précédent .

Maintenant c'est OK !!!
C'est bien celà !! K(7;3)=C(6;2)=15
Donc plus de malentendu ....
Mais ma formule :
<< K(n;p)= SIGMA { k=1 à n-p+1 ; K(n-k;p-1) } >> reste JUSTE tout de même !!
D'autant plus qu'elle conduit également , après tripatouillage calculatoire , à la relation de récurrence :
K(n;p)=K(n-1;p-1)+K(n-1;p) .

Voilà l'exo résolu .... LHASSANE
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