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 Equation differentielle ..

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red.line
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MessageSujet: Equation differentielle ..   Equation differentielle .. EmptyJeu 23 Déc 2010, 16:57

Trouver toutes les application f de R vers R de classe C1 telles que
qq soit x appartenant a R f'(x) + f(-x)=(-2x+2)exp(x) .


Dernière édition par red.line le Ven 24 Déc 2010, 12:02, édité 2 fois
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: Equation differentielle ..   Equation differentielle .. EmptyJeu 23 Déc 2010, 20:58

salam:

solution de l'équation homogène :f'(x)+f(x)=0 .

on élimine la soulution nulle ,supposons f=|=0 . et cherchons les solution non triviaux.

on a f'(x)+f(x)=0 =>f'(x)/f(x)=-1 =>int(f'(x)/f(x))dx=int(-1)dx=>ln(|f(x)|)=-x+a ;a£IR

=>|f(x)|=exp(-x+a)=e^a * e^(-x) ==> f(x)= a'e^(-x) ; a'£IR.

cherchons une solution particulière sous forme f(x)=(ax+b)e^(x) ; a,b £IR

f(x)=(ax+b)e^(x) est solution de f'(x)+f(x)=(-2x+2)e^(x) <=> pour tout x£IR; (ax

+a+b)e^(x)+(ax+b)^e(x)=(-2x+2)e^(x) <=>pour tout x£IR; (2ax+a+2b)e^(x)=

(-2x+2)e^(x)<=> (2a+2)x+(a+2b-2)=0 <=> 2a+2=a+2b-2=0.

après identification <=>a=-1 et b=3/2 .

ainsi x|------->(-x+3/2)e^(x) est une solution particulière de l'équation.

d'ou les solutions de l'équation sont f(x)=a'e^(-x)+(-x+3/2)e^(x) ; a'£IR

f est de classe C infini ;

sans erreur bien entendu.

tanmirt



Dernière édition par amazigh-tisffola le Ven 24 Déc 2010, 10:16, édité 1 fois
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wagshall
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MessageSujet: Re: Equation differentielle ..   Equation differentielle .. EmptyVen 24 Déc 2010, 01:40

amazigh-tisffola a écrit:
salam:

solution de l'équation homogène :f'(x)+f(x)=0 .

on élimine la soulution nulle ie f(x)=|=0

on a f'(x)+f(x)=0 =>f'(x)/f(x)=-1 =>int(f'(x)/f(x))dx=int(-1)dx=>ln(|f(x)|)=-x+a ;a£IR

....

salut

ce qui est en gras a pas de sens car les solutions nulles ne sont pas les solutions qui s'annulle !!!

en effet: les solutions nulles ce sont les solutions f(x) = 0 pr tt x£IR et les solutions qui s'annulles sont les solutions: {f £ C1(IR,IR) / existe x £ IR tq f(x) = 0 }

donc pr faire cela il faut demontrer que si f n'est pas nulle alors la fonction f qui verifie f' + f = 0 ne s'annulle jamais !!!

je t'aide et j'ecris cela:

f'+f = 0 <==> f' = - f par recurrence f est de classe C(oo) supposons alors qu'il existe un a£IR tq f(a) = 0 donc f'(a) = 0 .... f^(n)(a) = 0 pr tt n£IN ..... (f est elle polynomiale??) ....

sinon pense à Baire puis contracter le resultat... c pr cela dés le début il faut ecrire que les solutions de cette equation sont de genre x--> b e^(-x) avec b £IR ...
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red.line
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MessageSujet: Re: Equation differentielle ..   Equation differentielle .. EmptyVen 24 Déc 2010, 12:05

J'ai mal recopié l'énonce, en fait l'équation c'était : f'(x) + f(-x)=(-2x+2)exp(x)
Mais merci pour votre intervention .
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béhé
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MessageSujet: Re: Equation differentielle ..   Equation differentielle .. EmptyVen 24 Déc 2010, 13:26

Bonjour,
on esseyera de resoudre une equation diff du seconde ordre sans le -x :
pour ça tu change x par -x dans ton equation :

f'(-x) + f(x)=(2x+2)exp(-x) => f'(-x) =- f(x)+(2x+2)exp(-x) (*)

apres tu derive ton equation

[f'(x) + f(-x)=(-2x+2)exp(x) ]' => f''(x)-f'(-x) = ...

donc f'(-x)=f''(x)-.... (**)

d'apres (*) et (**)

tu aura une equation de second ordre f''(x) +af'(x)+bf(x)=P(x)exp(x)+Q(x)exp(-x)
donc methode classique :
- resolution de l'equation homogene.
- resolution solution particuliere avec le P(x)exp(x) comme second membre. (1)
- resolution solution particuliere avec le Q(x)exp(-x) comme second membre.(2)

Et supperpostion des trois solutions.
pour (1) et (2) soit tu utilise une variation des constantes, ou cherche des solutions particulieres sous la meme forme H(x)exp(mx).

avec degH(x) =1ou 2 ou3 ( ça deponds si m(=+-1 dans notre cas) est solution simple, double, pas solution de X^2+aX+b =0)

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