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 Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:

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nmo
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MessageSujet: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Ven 24 Déc 2010, 21:09

Notre professeur nous a proposé le test suivant, qui est proche à un olympiade:
Exercice 1:
Soit a et b deux réels strictements positifs, tel que a+b=6.
Démontrez que .
Exercice 2:
x, y, z, et t sont des réels strictement positifs, tel que et .
Démotrez que .
Exercice 3:
On considère un point P à l'intérieure d'un triangle équilatéral ABC.
Soit E, F, et G les projections orthogonales de P sur les côtés [AB], [BC], et [CA] respectivement.
Calculez AB sachant que PE=1, PF=2, et PG=3.
Exercice 4:
ABC est un triangle, L est un point de [AB] et N un point de [CA].
Les deux droites (CL) et (BN) se coupent en un point M.
Supposons que les surfaces des triangles LBM, BCM, et MNC respectivement sont 5, 10, et 8.
Calculez la surface du quadrilatère ALMN.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Ven 24 Déc 2010, 22:00

salut!
ben pour l'exercice 1 je pense que:
(a+1/b)²+(b+1/a)²=(ab+1)²(1/a²+1/b²)=(1+1/ab)²(a²+b²)=(1+1/ab)²(36-2ab)
on sait que (a+b)²>=4ab alors ab<=9
ca veut dire 36-2ab>=18 et (1+1/ab)²>=(10/9)²=100/81
alors(36-2ab)(1+1/ab)²>=200/9
sauf erreur et merci
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tarask
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Ven 24 Déc 2010, 22:12

Bonsoir !
Le premier exercice ressemble à celui là http://mathsmaroc.jeun.fr/t17170p225-preparations-aux-olympiades-de-tronc-commun-2010-2011#147013 et qui est faisable par cauchy-schwartz Wink

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tarask
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Ven 24 Déc 2010, 22:15

Désolé pour le double-post !
Le deuxième est lui aussi une application directe de Cauchy-Schwartz , et je crois que vous avez le droit de l'utiliser tant qu'elle est introduite dans la leçon du produit scalaire.

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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Ven 24 Déc 2010, 22:44

on a 2(x²+y²)<=2 et2(x²+y²)>=(x+y)² alors x+y<=V2 de meme on obtient z+t<=2V2
alors (x+y)(z+t)<=4 ca veut dire (xz+yt)+(xt+yz)<=4 et puisque (xz,yt) et (xt,yz) jouent des roles reciproques
on obtient ainsi 2(xz+yt)<=4 alors xz+yt<=2 . CQFD
sauf erreur
et merci
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 15:56

yasserito a écrit:
salut!
ben pour l'exercice 1 je pense que:
(a+1/b)²+(b+1/a)²=(ab+1)²(1/a²+1/b²)=(1+1/ab)²(a²+b²)=(1+1/ab)²(36-2ab)
on sait que (a+b)²>=4ab alors ab<=9
ca veut dire 36-2ab>=18 et (1+1/ab)²>=(10/9)²=100/81
alors(36-2ab)(1+1/ab)²>=200/9
sauf erreur et merci
C'est juste.
Je n'ai rien à dire.
yasserito a écrit:
on a 2(x²+y²)<=2 et2(x²+y²)>=(x+y)² alors x+y<=V2 de meme on obtient z+t<=2V2
alors (x+y)(z+t)<=4 ca veut dire (xz+yt)+(xt+yz)<=4 et puisque (xz,yt) et (xt,yz) jouent des roles reciproques
on obtient ainsi 2(xz+yt)<=4
alors xz+yt<=2 . CQFD
sauf erreur
et merci
Ce qui est en rouge n'est plus une démonstration.
Essaie avec l'inégalité de Caushy Schwartz.
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 16:00

En effet, le test est à la portée, sauf que le professeur, à ce que je pense, doit préparer un test en se basant sur les cours faites cette année.
Cependant, c'est une bonne initiative.
Pour moi, les trois premiers exercices sont très faciles, plutôt classiques.
J'attends vos réponses, surtout pour le dernier que je n'ai pas réussi à résoudre.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 20:55

(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.
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tarask
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 21:21

yasserito a écrit:
(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.
J'ai dit que t'as le droit , mais à condition que tu choisisses les vecteurs convenablement et appliquer C.S avec sa forme géométrique comme présentée dans la leçon du produit scalaire !

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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 21:26

Pour le troisieme je crois que la solution est :(on prend a la longueur du cote)
Sabc=Sapb+Sapc+Sbpc=a*pe/2+a*pf/2+a*pg/2=3a
alors: 1/2*a²sin(60)=3a
alors: a=6/sin(60)=4V3
sauf erreur et merci
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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 21:36

ah oui le dernier exercice parait vrm difficile. vous etes sur que vous avez ecrits tous les donnees? Question Rolling Eyes
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Sam 25 Déc 2010, 21:38

Pour le deuxiéme c'est façile méme sans Cauchy Shwartz:

x²+y²=<1 ET z²+t²=<4 => (x²+y²)(z²+t²)=<4 => (xz)²+(yt)²+(xt)²+(yz)²=<4
Or (xt)²+(yz)²>=2xyzt donc (xz)²+(yt)²+2xyzt=<(xz)²+(yt)²+(xt)²+(yz)²=<4
D'ou (xz+yt)²=<4 <=> xz+yt=<2 (Car x,y,z,t >0). Wink

Je vois que les trois exos sont bien des cadeaux :p

Pour notre examen, il est trop chargé avec de façiles questions qui m'ont vraiment perdu du temps (confusion total).
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Dim 26 Déc 2010, 15:57

yasserito a écrit:
Pour le troisieme je crois que la solution est :(on prend a la longueur du cote)
Sabc=Sapb+Sapc+Sbpc=a*pe/2+a*pf/2+a*pg/2=3a
alors: 1/2*a²sin(60)=3a
alors: a=6/sin(60)=4V3
sauf erreur et merci
C'est correct.
Personnellement, j'ai utilisé la formule de Héron.
yasserito a écrit:
ah oui le dernier exercice parait vrm difficile. vous etes sur que vous avez ecrits tous les donnees? Question Rolling Eyes
C'est ça ce que je crois, je n'ai trouvé que S(LMN)=4, pendant 90 minutes de réflexion!
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houssa
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Dim 26 Déc 2010, 17:26


salam

pour exo2
_______________

M(x,y) € quart de disque de rayon 1
N(z,t) € quart de disque de rayon 2.
__________________

x < cos a et y < sin a (au sens large)

z < 2. cos b et t < 2.sin b

___________

x.z + yt < 2(cosa.cosb +sina.sinb) = 2cos(a-b) < 2

_________________________________
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Sporovitch
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Dim 26 Déc 2010, 18:04

Le dernier exercice est correct
j'ai trouvé que S(ALMN)=22
SOlution:
Spoiler:
 
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Lun 27 Déc 2010, 17:13

Sporovitch a écrit:
Le dernier exercice est correct
j'ai trouvé que S(ALMN)=22
SOlution:
Spoiler:
 
Aucune faute, sauf celle d'inattention à la première ligne où tu as écris sin au lieu de S.
Autre que cela, exellent travail, bravo et merci.
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yumi
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mar 28 Déc 2010, 19:19

yasserito a écrit:
(x²+y²)(z²+t²)<=4 alors puisque selon l'inegalite de caushey shwartz alors:
(x²+y²)(z²+t²)>=(xz+yt)² on deduit alors que (xz+yt)²<=4 alors
xz+yt<=2. CQFD
sauf erreur.
merci nmo.svp a t-on le droit d'utiliser ces inegalites sans les prouver?
et merci d'avance.



salam
je voulais juste vous poser une petite question:
est-ce qu'on peut appliquer l'inégalité de caushy shwartz ou une autre dans un concours comme celui là ??sans même la démontrer??
merci de me répondre ,car demain insha'ALLAH je vais passer un concours de maths...
bounce
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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mar 28 Déc 2010, 19:27

ah ben moi a ce que j'ai entendu recemment que tu dois la prouver avant,mais c'est juste une personne qui me la dit .rassure toi svp de ca et desole...
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yumi
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mar 28 Déc 2010, 20:29

yasserito a écrit:
ah ben moi a ce que j'ai entendu recemment que tu dois la prouver avant,mais c'est juste une personne qui me la dit .rassure toi svp de ca et desole...
ok merci pour ta réponse
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mer 29 Déc 2010, 15:07

yumi a écrit:
salam
je voulais juste vous poser une petite question:
est-ce qu'on peut appliquer l'inégalité de caushy shwartz ou une autre dans un concours comme celui là ??sans même la démontrer??
merci de me répondre ,car demain insha'ALLAH je vais passer un concours de maths...
bounce
Certes, dans ce concours également, tu dois prouver ce que tu veux utiliser.
Je vois aussi que la démonstration d'une telle inégalité est facile, et ne demande pas beaucoup de temps.
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yumi
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mer 29 Déc 2010, 16:44

d'accord merci nmo.
voilà on a passé le concours,mais je n'ai utilisé l'inégalité de caushy shwartz dans aucun exercice...

































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yasserito
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Mer 29 Déc 2010, 18:44

mais dans les olympiads nmo doit on les prouver?
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nmo
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Jeu 30 Déc 2010, 11:05

yasserito a écrit:
mais dans les olympiads nmo doit on les prouver?
Je pense que non.
J'ai reçu la solution des deux tests récemment passés.
Dans le premier, ils ont accepté l'inégalité arithmético-géométrique sans preuve.
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MessageSujet: Re: Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:   Aujourd'hui à 12:12

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Concours des sciences et des techniques [étape locale 1]:
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