une minus question

question : monter a l'aide du T.A.F
que (1/1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x
et en déduire que :
(Vn£N* ) (1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

merci pour vos tentative

voici ton exo par une autre façon

1-montrer que pour tout on a

2- déduire que


pour 1 etudier la fonction f(x)=Ln(x)-x+1 et pour 2 tu peux poser

salut AL-pironi
bon cette exo je l'ai résolu avec l’étude de la fonction mais la on m'impose d'utiliser le T.A.F
théorème des accroissement fini .
^^

SAlut,
ca ne serait pas
Montrez que : (1/1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x

ah wé j'ai fait une faute c'est pour ca wé ta raison
Montrez que : (1/1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x dsl ^^

Application directe du T.A.F

bah est ce que ceci est correcte 1/1+x<ln(x)'<1/x ==> (1/1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x

mais dans le cour on a (alpha)<f'(x)<(beta) alpha et beta £ R il ne sont pas des variant
tu voit c'est ce qui me tracasse si non pour la 2éme question c'est koi ?

par l'application de TAF sur Ln(x) a l'intervalle [x+1,x]

il existe c E ]x+1,x[ : Ln(x+1)-Ln(x)= (x+1-x)Ln'(c)=1/c
on a (1/1+x)<1/c<1/x donc (1/1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x

Oui c'est ca Ayoub

merci pour votre réponse
et pour la 2eme question ^^

en déduire que :
(Vn£N* ) (1+1/n)^n<e<(1+1/n)^(n+1)

Pour cela
on a 1/(1+x)<ln(x+1)-ln(x)<1/x
donc 1/(1+n)<ln(1 + 1/n) < 1/n (remplacer x par n et utiliser ln(a/b)=ln(a) -ln(b) )
disjonction de l'inegalité :
on a alors 1/(1+n)<ln(1 + 1/n) et ln(1 + 1/n) < 1/n
donc 1<(n+1)*ln(1 + 1/n) et n*ln(1 + 1/n) < 1
équivaut a 1<ln((1 + 1/n)^(n+1)) et ln((1 + 1/n)^n) < 1
on en deduit que ln((1 + 1/n)^n) < 1<ln((1 + 1/n)^(n+1))
en tirant avec l'expo on aura le resultat demandé

bien joué ^^

Pour ceux qui sont intéresser par le problème voici ça suite =) ^^
enjoy

Merci

Avec plaisir mon frère =)