Exercice très important de suites numériques :

Salam aleikum

pr la 3-b- je pense qu'il ya une faute:

j'ai trouvé que .... = 1/(4*U(n+1) ) * (Un - Vn)^2

ahh oui c'est (un-vn)² . Voila j'ai rectifier

Aucune réponse ??

salam:

1) par récurrence :

pour n=0: on a u0=3>0 => V0=7/U0=7/3>0, vraie pour n=0.

supposons que Un>0 ==>Vn>0 et montrons que Un+1>0 et Vn+1>0

Un+1=1/2(Un+Vn)=1/2Un+1/2Vn comme Un>0 et Vn >0 ==>Un+1>0 et Vn+1=7/Un+1>0

d'ou Un>0 et Vn>0

3) a):

pour tout n£IN :(Un+Vn)^2 - 28= 4(Un+1)^2 - 28 =4((Un+1)^2 - 7)=4((Un+1)^2 -

Un*Vn)= (Un+Vn)^2 - 4Un*Vn = Un^2 + Vn^2 -2Un*Vn = (Un - Vn)^2

3) b):

pour tout n£IN: Un+1-Vn+1=1/2(Un+Vn)-7/Un+1 = 1/2(Un+Vn) - 14/(Un+Vn) = ((Un+Vn)^2 - 28)/ 2(Un+Vn) = (Un-Vn)^2/2(Un+Vn) comme 2(Un+Vn)=4Un+1

==>Un+1 -Vn+1=(Un-Vn)^2 /4Un+1

tanmirt

salam:

3) c):

on a pour tout n£IN Un+1 -Vn+1=(Un-Vn)^2 /4Un+1>0 DONC Un-Vn>0.

4) pr tt n on a Un+1-Un=(Un+Vn)/2 - Un= -Un+Vn<0 =>Un+1<Un d'ou (Un) est décroissante

on a pr tt n : Vn+1/Vn= Un/Un+1>1 => Vn+1>Vn => (Vn) est croissante


tanmirt

salam:

5 a) :par récurrence :

u0=3>21/8 vraie

tu suppose que pr tt n£IN ; Un>21/8 et montrer que Un+1>21/8.

5) b):pour tout n: 1/Un+1<8/21 =>1/4Un+1<2/21<2/20=1/10 ==>1/4Un+1 *(Un-Vn)^2<1/10(Un-Vn)^2 ==>Un+1-Vn+1<1/10(Un-Vn)^2

5 c):

Un-vn<1/10^2(Un-1 - Vn-1)^2
<1/10^3(Un-2 - Vn-2)^2
.........................................
.......................................
.......................................
Un-Vn<1/10^(2^n) (u0-v0)^2
Un-Vn<1/10^((2^n)-1)

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

salam:

1) par récurrence :

pour n=0: on a u0=3>0 => V0=7/U0=7/3>0, vraie pour n=0.

supposons que Un>0 ==>Vn>0 et montrons que Un+1>0 et Vn+1>0

Un+1=1/2(Un+Vn)=1/2Un+1/2Vn comme Un>0 et Vn >0 ==>Un+1>0 et Vn+1=7/Un+1>0

d'ou Un>0 et Vn>0

3) a):

pour tout n£IN :(Un+Vn)^2 - 28= 4(Un+1)^2 - 28 =4((Un+1)^2 - 7)=4((Un+1)^2 -

Un*Vn)= (Un+Vn)^2 - 4Un*Vn = Un^2 + Vn^2 -2Un*Vn = (Un - Vn)^2

3) b):

pour tout n£IN: Un+1-Vn+1=1/2(Un+Vn)-7/Un+1 = 1/2(Un+Vn) - 14/(Un+Vn) = ((Un+Vn)^2 - 28)/ 2(Un+Vn) = (Un-Vn)^2/2(Un+Vn) comme 2(Un+Vn)=4Un+1

==>Un+1 -Vn+1=(Un-Vn)^2 /4Un+1

tanmirt

Salut mr amazigh-tisffola , pk a la place de ( un+vn)² tu as mis (un+1)² .
Merci

salam:

pour tout n£IN :Un+1=(Un+Vn)/2 =>Un+Vn=2U_n+1 =>(Un+Vn)^2= (2U_n+1)^2

=>(Un+Vn)^2=4(U_n+1)^2

tanmirt

amazigh-tisffola a écrit:

salam:

pour tout n£IN :Un+1=(Un+Vn)/2 =>Un+Vn=2U_n+1 =>(Un+Vn)^2= (2U_n+1)^2

=>(Un+Vn)^2=4(U_n+1)^2

tanmirt

Merci mr tanmirt