Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes

Maître Nombre de messages : 129 Age : 32 Date d'inscription : 26/07/2010

Soient z_1, z_2 ......z_n n nombres complexes , et soit e >0 , Prouvez qu'il existe une infinité de k tel que :

{mod(som( (z_i)^k)) } ^(1/k) >= max ( mod(z1),mod(z_2),...mod(z_n)) -e , i varie de 1 jusquà n

P.S: mod( x)= module de x

si je suppose que l'énoncé est de montrer qu'il existe une infinité de réels k tq l'inégalité soit vérifiée alors on commence par construire un k strictement postif
sans perte de généralité supposons que $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 8228cdb45de43b1f79090deebc283a19e3364796$
si $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes C462fcab812bc00fe26da0f5ec9eb6b1ec2ec16f$ alors le problème est trivial sinon alors soit $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes B64244d4b91c2f1738b8b84d6883f4d5736693e7$ le réel tq $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 3623df4a32d76c7d82e4a16f650800e8286f8ef0$ avec $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 27adb1a5b51735a1b906d33da7601ace4d2d428d$
pour tout $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 4fa6eac2db9107d93b4a25c403f4f9c62aebbe5d$ posons $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes Aba116e4ce66ddf55d20c7248e4da34db00990cb$ , Ainsi
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 90d7f0949646c3eb2128daad414bfca6e9f40532$
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 15c663a255dc657ee4504a6c00581fe643af4a4c$
quand k-> 0 alors il existe $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 739c7fc053ad040798f547add7bcf9f2b5112230$ tq pour tt 0<k < alpha on a,
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 433c471dd89e3e39e96ff267b4e5f18a8827cb25$
et d'aprés l'inégalité triangulaire il s'ensuit que
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 6aac110343763941a7931c9a50e1f6457e50ac39$
ce qui implique que
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 7222f2d1b20fbd26d3532807f402e40a5c15e4f8$
Ainsi il suffit de prendre k dans ]0, alpha[ comme voulu

Maître Nombre de messages : 129 Age : 32 Date d'inscription : 26/07/2010

BSR Abdek-M

qu'est ce que tu veux dire par : choisir epsilon tel que : ( r_n-e)^k = r_n^k -e ( pour une infinité de k ??!!) (epsilon est fixe ?)

en plus il me semble que l'inégalité r_n^k-e >= (r_n-e)^k est fausse pour k-->0 , alos si j'ai pas compris votre idée , explique moi stp Smile

merci

exuse moi j'ai oublié des truk, Voila une autre idée , je vais réecrire tout la solution j'éspère que j'ai pas commis d'erreur
on commencera par construire un k strictement postif,
sans perte de généralité supposons que $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 8228cdb45de43b1f79090deebc283a19e3364796$
si $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes C462fcab812bc00fe26da0f5ec9eb6b1ec2ec16f$ alors le problème est trivial sinon alors soit $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes B64244d4b91c2f1738b8b84d6883f4d5736693e7$ un réel tel que $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 45b4695276774517e6dc70bf136ed6173e7c0f14$ et soit $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes E6d2cf09118ac0ef21465b9b1b8a5700dcee7a5d$
pour tout $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 4fa6eac2db9107d93b4a25c403f4f9c62aebbe5d$ posons $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes Aba116e4ce66ddf55d20c7248e4da34db00990cb$ , Ainsi
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 90d7f0949646c3eb2128daad414bfca6e9f40532$
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 15c663a255dc657ee4504a6c00581fe643af4a4c$
quand k-> 0 alors il existe $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 739c7fc053ad040798f547add7bcf9f2b5112230$ tq pour tt 0<k < alpha on ait
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 433c471dd89e3e39e96ff267b4e5f18a8827cb25$
et d'aprés l'inégalité triangulaire il s'ensuit que
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 6aac110343763941a7931c9a50e1f6457e50ac39$
ce qui implique que
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 60e075d3334ee352d709729dffd419ec771acc89$
On va distinguer deux cas si il exsite au moins $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 4fa6eac2db9107d93b4a25c403f4f9c62aebbe5d$ distinct de n tel que $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes Ede0b3d098eb8c5b34dc4da64a9ea71b56fe091c$ alors au voisinnage de 0
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 92d818986c1679189cd3073c9616402247941149$
dans ce cas la l'inégalité est vérifié
si pour tout $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 4fa6eac2db9107d93b4a25c403f4f9c62aebbe5d$ on a $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes E3a4508df110b140341f00a9627996ec031ea704$ alors soit $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes B64244d4b91c2f1738b8b84d6883f4d5736693e7$ un réel strictement positif tel que $Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 83ffd72cdafc9f0c32c7dda43bcd77f85fdc7883$
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes Aab5fdef604fae201a401d32ee6938f9fc006821$
quand k-> +00
et comme
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 575b7c89f1283b01e201db3c00feca2307e99790$
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 7e0259d33cd4e71def3cbbf8de439b838a34ec66$
alors en Procédant de manière similaire qu'avant on aurra pour tout k> A avec A un certain réel assez grand
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes 8ed420827870993c2fdf8598116b8bd02d12c9d8$
Or
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes Ef8fcbc0eb5114e650ad32d615ae4088a5e32d2a$
donc
$Une infinité de k vérifiant une inégalité sur des complexes A3f2dd8ca76d70c27ad0b8c899aebf9a5432e572$
et d'ou le resultat dans les deux cas il existe bien une infinité

Maître Nombre de messages : 129 Age : 32 Date d'inscription : 26/07/2010

Bjr Abdek-M

je crois que c'est bon maintenant Smile