Sans perte de généralité, on prend x,y et z premiers entre eux dans leur ensemble
On définit d = pgcd(x,y) et on pose x=dx' et y=dy' où pgcd(x',y')=1.
L'équation se réécrit : x(x-z)=y(y-x)
<==> x'(x-z)=y'(y-x)
===> x' | y'(y-x), donc x' |y-x=d(y'-x'), donc x'|d
Par suite :
d=x'k
x=dx'=x'²k
y=dy'=x'y'k
L'équation se réécrit :
d(x'²+x'y'-y'²) = x'z
<==> k(x'²+x'y'-y'²)=z
===> k | z, or k divise d donc x et y, et donc k divise pgcd(x,y,z)=1, donc |k|=1
===> |x'²+x'y'-y'²|=z
Synthèse :
Les solutions à l'équation diophantienne sont les triplets (ta²,tab,t(a²+ab-b²)) avec (t,a,b) de Z^3.
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