Famille libre.

slt à tous !

Soit E=IR^n

soit :



et


tel que :



montrer que : est libre.

Merci d'avance.

BSR

et si les f_i sont tous nuls ? cela implique que n'importe quelle famille de n vecteurs est libre ce qui est faux

Bsr !

si f_i sont nulles alors e_i est libre,c'est la base canonique !

j'ai utilisé la notation de Kronecker :

delta_ij= 1 si i=j , 0 sinon, ainsi :

e_1=(1,0,0,0...,0)

e_2=(0,1,0,...,0) ....

ahh tout est clair maintenant , merci

Pas de problème !

bon je suppose qu'il s'agit du Produit scalaire canonique
soit a_i ( 1<=i<=n) tel que : som ( ai(e_i+f_i))=0 avec les a_i ne sont pas tous nuls
<=> som(a_ie_i)= -som(a_i*f_i) en passant a la norme associée

abs( som(a_ie_i)) = abs( som(a_i*f_i)) <= som( abs(a_i*f_i)) <= racine{ som(a_i²)*som(f_i²)) < racine ( som(a_i²)) (cauchy shwarz)

or abs(abs( som(a_ie_i))) = racine( som(a_i²)) puisque e_i est la base canonique , d'ou la contradiction