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 Une bonne série d'exercices d'olympiade

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ali-mes
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 986
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MessageSujet: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Lun 17 Jan 2011, 10:55

Problème1:
Posons tel que sont des réels strictement positifs et .
montrer qu'il existe un seul entier naturel n tel que .

Problème2:
Soit a, b et c des réels tel que:
M.Q:

Problème3:
sont des nombres de .
M.Q:


problème4:
Soit n un élément de tel que et et sont des nombres réels tel que:

M.Q:
On note E(x) la partie entière de x.


Problème5:
considérons l'application tel que .
Montrer que f est surjectif.


Problème6:
Soit a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle.
Posons R=a²+b²+c² et S=(a+b+c)²
Montrer que l'ensemble de la valeur de R/S est [1/3;1/2[.



A vos stylos.
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medamine.
Habitué


Masculin Nombre de messages : 19
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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Lun 17 Jan 2011, 12:44

merci ali-mes !
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ali-mes
Expert sup


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 18:27

TJRS pas de réponses Neutral
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mizmaz
Maître


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 19:04

ali-mes a écrit:
Problème5:
considérons l'application tel que .
Montrer que f est surjectif.

Solution au problème 5 :^
Il suffit de montrer que
Soit et soit g l'application de vers telle que
Nous avons :

Et nous avons
Donc (1)
Et puis
Ce qui fait que ou (2)
De (1) et de (2), concluons.
Sauf erreur.
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yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 21:00

.
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yasserito
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 615
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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 21:02

Mais pour quoi ca ne marche pas le latex?! je vais ecrire ce que j'ai trouve manuellement et je l'envoierai.merci d'abord pour ces exercices..
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Dijkschneier
Expert sup


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 21:06

Les problèmes sont bons.
Le premier se fait en montrant tout d'abord que S_n = sqrt(n^4 + 17^2) (Minkowski) puis en montrant que n^4+17^2 est un carré parfait si et seulement si n=12 (triplet pythagoricien).
Le deuxième est classique.
Le troisième se fait en utilisant successivement Minkowski et Cauchy-Schwarz.
Le quatrième : es-tu sûr de la définition de y_(i+1) ?
Le cinquième consiste à prouver que pour tout entier m, il existe un entier n tel que E(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = m. Il suffit de faire une récurrence sur m et d'utiliser l'encadrement ln(n+1) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n <= ln(n) + 1
Le sixième problème est enfin classique.

J'aimerais bien connaître la source de tes problèmes.


Dernière édition par Dijkschneier le Mer 19 Jan 2011, 12:58, édité 1 fois
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yasserito
Expert sup


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 21:56

Pouvez vous nous montrer la solution du 3eme?
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ali-mes
Expert sup


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 22:16

Dijkschneier a écrit:
Les problèmes sont bons.
Le premier se fait en montrant tout d'abord que S_n = sqrt(n^4 + 17^2) (Minkowski) puis en montrant que n^4+17^2 est un carré parfait si et seulement si n=12 (triplet pythagoricien).
Le deuxième est classique.
Le troisième se fait en utilisant successivement Minkowski et Cauchy-Schwarz.
Le quatrième : es-tu sûr de la définition de y_(i+1) ?
Le cinquième consiste à prouver que pour tout entier m, il existe un entier n tel que E(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = m. Il suffit de faire une récurrence sur m et de distinguer deux cas.
Le sixième problème est enfin classique.

J'aimerais bien connaître la source de tes problèmes.


DES solutions détaillés SVP

Et pour la source = c'est secret ! Very Happy Very Happy
et pour la définition de y_(i+1) = elle est juste

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ali-mes
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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mar 18 Jan 2011, 22:26

P.S=les exos que j'ai propsé (sauf 5) ont une relation avec : Majorant et minorant d'une partie de IR
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Dijkschneier
Expert sup


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mer 19 Jan 2011, 12:35

ali-mes a écrit:
DES solutions détaillés SVP
Non. Les grandes lignes sont suffisantes. Lorsque je dis Minkowski, c'est qu'il faut l'appliquer directement. Je n'ai aucune raison de développer davantage.

ali-mes a écrit:
et pour la définition de y_(i+1) = elle est juste
Alors la suite (y_n) n'a plus aucune raison d'être définie.
Il y a un truc compliqué dans ce quatrième problème, car si l'on tentait une récurrence sur n, on ne pourrait pas commencer par dire que , car x_i change de sens en fonction de n (x_1 change à chaque fois selon n).
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mizmaz
Maître


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Mer 19 Jan 2011, 12:50

Message inutile.
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maths-au-feminin
Maître


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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Sam 22 Jan 2011, 22:04

slt
peut klk1 poste la réponse pour le renier exo et merci d'avance Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy Very Happy
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MessageSujet: Re: Une bonne série d'exercices d'olympiade    Aujourd'hui à 04:00

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