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amazigh-tisffola
hmima
Dijkschneier
yumi
8 participants
AuteurMessage
yumi
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yumi


Féminin Nombre de messages : 156
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MessageSujet: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 11:34

salam all
démontrez que:
card P(E) =2^n ,tel que n le nombre des éléments appartenenant à un ensemble fini E.
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Dijkschneier
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 29
Date d'inscription : 12/12/2009

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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 12:30

Infaisable avant d'avoir des notions sur le dénombrement.
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http://dijkschneier.freehostia.com
hmima
Maître
hmima


Masculin Nombre de messages : 73
Age : 28
Localisation : Las-Noches
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 12:51

faisable je te dit ! Very Happy ! Very Happy Je L'ai Fais Mais J'ai pas le temp D'écrire la démonstration maintenant J'ai Cour L'aprem je Poste La Démo ! Very Happy





Wink
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amazigh-tisffola
Expert grade1
amazigh-tisffola


Masculin Nombre de messages : 487
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Localisation : kelaa m'gouna
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 16:40

Soit E un ensemble fini à n éléments.
Pour A partie de E, considérons son application caractéristique
χA: E→{ 0,1 }x↦{ 1si x∈A , 0sinon .
L'application A↦χA réalise une bijection de P(E) vers { 0,1 }^E.
Il y a 2^n applications de E dans { 0,1 } d'où le résultat.
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amazigh-tisffola
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amazigh-tisffola


Masculin Nombre de messages : 487
Age : 40
Localisation : kelaa m'gouna
Date d'inscription : 01/10/2010

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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 16:42

Démonstration par dénombrement
Pour construire une partie A d'un ensmbre E={ x1,…,xn } avec x1,…,xn deux à deux distintcs :

* on choisit si x1∈A ou non : 2 possibilités ;
* on choisit si x2∈A ou non : 2 possibilités ;
...
* on choisit si xn∈A ou non : 2 possibilités.
Au total, il y a 2^n possibilités de construction et autant parties de E.
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yumi
Maître
yumi


Féminin Nombre de messages : 156
Age : 29
Localisation : {Univers des éventualités}U/{My Land}
Date d'inscription : 08/11/2009

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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 18:21

j besoin d'une solution de 1er bac sm pour cet exooo
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M.Marjani
Expert sup
M.Marjani


Masculin Nombre de messages : 1665
Age : 29
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 13 Oct 2010, 18:55

Ca me fait rapelle au tableau de vérité !
Quand il s'agit de deux phrases mathématiques (P) et (Q) on aura 2^2 cases horizontales.
Quand ils s'agit de 3, on aura 2^3 Et quand il s'agit d'une seule phrase: 2^1 cases (quand t-elle sera juste et quand t-elle sera fausse)... Et ansi de suite !

On déduit que: P(E)=2^{n}

Notez que:
Le nombre des cases horizontales = P(E)
Le nombre des phrases mathématique: n

(J'ai pas encore fais les applications dans les ensembles c'est pourquoi que j'ai pas arrivé à te donner une solution compléte.)
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Othmaann
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Masculin Nombre de messages : 444
Age : 31
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMar 19 Oct 2010, 13:41

Les solutions les plus simples sont celles qui ont été donné par amazigh-tisffola. Ne t'attend pas à plus simple.
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yumi
Maître
yumi


Féminin Nombre de messages : 156
Age : 29
Localisation : {Univers des éventualités}U/{My Land}
Date d'inscription : 08/11/2009

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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyVen 22 Oct 2010, 20:03

salam
mais le prof nous as dit qu'on peut demontrer ça avc la récurrence .....
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2249
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 19 Jan 2011, 17:28

amazigh-tisffola a écrit:
L'application A↦χA réalise une bijection de P(E) vers { 0,1 }^E.
Je pense qu'il faut mettre l'ensemble des applications au lieu de ce qui est en rouge.
Un autre problème consiste à démontrer la bijection, ce qui n'est pas du niveau.
Je présente une autre solution dans mon prochain message.
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nmo
Expert sup



Masculin Nombre de messages : 2249
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Localisation : Elgara
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 19 Jan 2011, 17:45

Voici une autre solution:
Considérons un ensemble E fini à n élément.
L'ensemble des parties de E se compose des sous ensembles:
-à 0 éléments, leurs nombre est card P(E) ... Gif.
-à 1 un élément, leurs nombre est card P(E) ... Gif.
...
-à n élémets, leurs nombre est card P(E) ... Gif.
Afin de calculer le nombre de parties de E, on calcule la somme card P(E) ... Gif.latex?C^0_n+C^1_n+...
On a selon le binôme de Newton, card P(E) ... Gif.
On prends a=b=1, on trouve card P(E) ... Gif.latex?(1+1)^n=\sum_{p=0}^{n}C^p_n.1^{n-p}.
Donc card P(E) ... Gif.latex?C^0_n+C^1_n+...
Sauf erreur.
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Lotus_Bleu
Maître
Lotus_Bleu


Masculin Nombre de messages : 130
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... EmptyMer 19 Jan 2011, 17:46

BSR à Vous !!

Celà fait un bout de temps !!! .... Des soucis .... Mais c'est là des choses personnelles !!

Je vois là une Démonstration Par Récurrence assez séduisante et de votre niveau !!
Alors , allons y !!!

Nous allons prouver par récurrence sur n , la propriété suivante :
P(n) : { Si E est un ensemble à n éléments alors P(E) a 2^n éléments }

La Propriété est vraie pour n=0 ( par convention ) : si E=VIDE alors P(E)={VIDE} donc a 2^0=1 élément .

Hypothèse de Récurrence HR :supposons P(n) VRAIE
Alors soit F un ensemble ayant (n+1) éléments ( distincts) et soit a un élément DONNE de F ; on notera alors E=F\{a} le Complémentaire de {a} par rapport à F , E a pour Cardinal n .

Les sous-ensembles H de F sont de DEUX SORTES :
1) Il y a les parties H de F qui contiennent a , elles sont de la forme H={a}uK avec K élément de P(E) et il y en a EXACTEMENT 2^n puisque CardE=n et d'après HR
2) Il y a les parties H de F qui ne contiennent pas a , ce sont les éléments de P(E) et on en trouve EXACTEMENT 2^n

En tout et pour tout , on en aura donc : 2^n + 2^n soit 2.2^n soit 2^(n+1)
et par conséquent P(n+1) est VRAIE !!!

Amicalement .
Lotus_Bleu
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MessageSujet: Re: card P(E) ...   card P(E) ... Empty

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