Une bonne série d'exercices d'olympiade

Problème1:
Posons tel que sont des réels strictement positifs et .
montrer qu'il existe un seul entier naturel n tel que .

Problème2:
Soit a, b et c des réels tel que:
M.Q:

Problème3:
sont des nombres de .
M.Q:


problème4:
Soit n un élément de tel que et et sont des nombres réels tel que:

M.Q:
On note E(x) la partie entière de x.


Problème5:
considérons l'application tel que .
Montrer que f est surjectif.


Problème6:
Soit a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle.
Posons R=a²+b²+c² et S=(a+b+c)²
Montrer que l'ensemble de la valeur de R/S est [1/3;1/2[.



A vos stylos.

merci ali-mes !

TJRS pas de réponses

ali-mes a écrit:

Problème5:
considérons l'application tel que .
Montrer que f est surjectif.

Solution au problème 5 :^
Il suffit de montrer que
Soit et soit g l'application de vers telle que
Nous avons :

Et nous avons
Donc (1)
Et puis
Ce qui fait que ou (2)
De (1) et de (2), concluons.
Sauf erreur.

.

Mais pour quoi ca ne marche pas le latex?! je vais ecrire ce que j'ai trouve manuellement et je l'envoierai.merci d'abord pour ces exercices..

Les problèmes sont bons.
Le premier se fait en montrant tout d'abord que S_n = sqrt(n^4 + 17^2) (Minkowski) puis en montrant que n^4+17^2 est un carré parfait si et seulement si n=12 (triplet pythagoricien).
Le deuxième est classique.
Le troisième se fait en utilisant successivement Minkowski et Cauchy-Schwarz.
Le quatrième : es-tu sûr de la définition de y_(i+1) ?
Le cinquième consiste à prouver que pour tout entier m, il existe un entier n tel que E(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = m. Il suffit de faire une récurrence sur m et d'utiliser l'encadrement ln(n+1) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n <= ln(n) + 1
Le sixième problème est enfin classique.

J'aimerais bien connaître la source de tes problèmes.

Pouvez vous nous montrer la solution du 3eme?

Dijkschneier a écrit:

Les problèmes sont bons.
Le premier se fait en montrant tout d'abord que S_n = sqrt(n^4 + 17^2) (Minkowski) puis en montrant que n^4+17^2 est un carré parfait si et seulement si n=12 (triplet pythagoricien).
Le deuxième est classique.
Le troisième se fait en utilisant successivement Minkowski et Cauchy-Schwarz.
Le quatrième : es-tu sûr de la définition de y_(i+1) ?
Le cinquième consiste à prouver que pour tout entier m, il existe un entier n tel que E(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n) = m. Il suffit de faire une récurrence sur m et de distinguer deux cas.
Le sixième problème est enfin classique.

J'aimerais bien connaître la source de tes problèmes.

DES solutions détaillés SVP

Et pour la source = c'est secret !
et pour la définition de y_(i+1) = elle est juste

P.S=les exos que j'ai propsé (sauf 5) ont une relation avec : Majorant et minorant d'une partie de IR

ali-mes a écrit:

DES solutions détaillés SVP

Non. Les grandes lignes sont suffisantes. Lorsque je dis Minkowski, c'est qu'il faut l'appliquer directement. Je n'ai aucune raison de développer davantage.

ali-mes a écrit:

et pour la définition de y_(i+1) = elle est juste

Alors la suite (y_n) n'a plus aucune raison d'être définie.
Il y a un truc compliqué dans ce quatrième problème, car si l'on tentait une récurrence sur n, on ne pourrait pas commencer par dire que , car x_i change de sens en fonction de n (x_1 change à chaque fois selon n).

Message inutile.

slt
peut klk1 poste la réponse pour le renier exo et merci d'avance