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 Des équations diophantiennes assez compliquées .

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2 participants
AuteurMessage
tarask
Expert sup
tarask


Masculin Nombre de messages : 1004
Age : 30
Date d'inscription : 14/06/2010

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MessageSujet: Des équations diophantiennes assez compliquées .   Des équations diophantiennes assez compliquées . EmptyLun 31 Jan 2011, 13:44

Bon après-midi tout le monde .
Je vous propose ces équations diophantiennes , elles sont vraiment intéressantes Wink
1)Prouver que pour tout nombre premier p , l'équation Des équations diophantiennes assez compliquées . Gif n'admet pas de solution entière (q,n) avec q,n>1

2)Déterminer tous les triplets d'entiers positifs (x,k,n) tels que Des équations diophantiennes assez compliquées . Gif

3)Trouver tous les couples (p,q) vérifiant : Des équations diophantiennes assez compliquées . Gif
où p et q sont des nombres premiers .

4)Résoudre dans N² : Des équations diophantiennes assez compliquées . Gif

Hard luck comme toujours .

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Abdek_M
Maître
Abdek_M


Masculin Nombre de messages : 162
Age : 31
Localisation : France
Date d'inscription : 18/12/2009

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MessageSujet: Re: Des équations diophantiennes assez compliquées .   Des équations diophantiennes assez compliquées . EmptyLun 31 Jan 2011, 19:32

Ca fait un bail moi et l'arithmétique sinon c'est la meilleur occasion pour y revenir Smile

1)Soit Des équations diophantiennes assez compliquées . 516b9783fca517eecbd1d064da2d165310b19759 un nombre premier strictement suprérieur à 5 vu que les cas p=2,3,5 sont triviaux, comme Des équations diophantiennes assez compliquées . 8a381c66d416193b0ae7672222ad8fae0c280059 alors il en résulte que Des équations diophantiennes assez compliquées . 9da24da2490f0c67861cc89cb0561d127961600e donc Des équations diophantiennes assez compliquées . 178de5c8839ae0fe78429cef9e1d22b3fe3a245b est un diviseur de Des équations diophantiennes assez compliquées . 7c893a7f035299418d0fd824fa589cecabb850ea Ainsi de Des équations diophantiennes assez compliquées . Be5932d41626013b85bbba2935843cd51956a2fe , Or Des équations diophantiennes assez compliquées . 2322916ab3f4a71ecb80ba5e6595d787759f4421 car Des équations diophantiennes assez compliquées . C41603adcae6f3945d0a7920742296b5456c9a9e donc il s'ensuit que Des équations diophantiennes assez compliquées . D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa ne peut pas dépasser 1 en contradiction avec la condition imposé à n,
2) supposons qu'il existe un triplet Des équations diophantiennes assez compliquées . 82ba58a9119684876d89f753b8d6193564a239c5 vérifiant Des équations diophantiennes assez compliquées . 4d06f89ded4059fe9192bea99ed1dfb705bc86f5, supposons que Des équations diophantiennes assez compliquées . A3fa1651b809bcb0cbf74d5d445eaaa02ff1881a et Des équations diophantiennes assez compliquées . D24742f926d9941b8bbb1c164f09acecaf8c8933 , si Des équations diophantiennes assez compliquées . D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa est pair alors du coup Des équations diophantiennes assez compliquées . 5915fd4e68347446f7d7d943f436f0759a753929 i.e Des équations diophantiennes assez compliquées . 7984b0a0e139cabadb5afc7756d473fb34d23819 est un résidu quadratique Des équations diophantiennes assez compliquées . 9af66390ad93835e2f804bca2f53deae8b2fd18d ce qui est absurde, si Des équations diophantiennes assez compliquées . D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa est impair il s'ensuit que Des équations diophantiennes assez compliquées . E482f1d9bea1b41d623ce75f0250a4cfe4e94eaa donc il existe Des équations diophantiennes assez compliquées . 41b95af8f40a1cb3a02a37d3ff15d3cf040bde64 tel que Des équations diophantiennes assez compliquées . 2e6ded8dd3b8e225bf35b201f7b5f18c39d67111 Ainsi Des équations diophantiennes assez compliquées . 36c660ed94b232fe191d77eb2a1eeacbb45e1c7a il est facile de montrer en mod 4 que k est pair, ainsi que lambda donc D'après The lifting exponent lemma on a Des équations diophantiennes assez compliquées . F0e7f8855e67d640aab0c25f88aaffbbea8ead79 soit Des équations diophantiennes assez compliquées . Dd12731c60545e26a177e5a7f2e3ac360a21ccff Ainsi Des équations diophantiennes assez compliquées . F192c00df12688f6220f8f5d944885496f9b946e donc l'égalité devient équivalente à Des équations diophantiennes assez compliquées . 4c7fc67e4937a228c12c21f8958546ae08a11917Des équations diophantiennes assez compliquées . 57bdb94662fcfb53c79454aeb88960803755c2bf et Des équations diophantiennes assez compliquées . Ba1631cf5d3948fd0148ad6575e44835b59f5f4a sont des entiers impairs et comme Des équations diophantiennes assez compliquées . F54386969c02cf0934c7b82e6d820d93b81370b4 alors il s'ensuit que Des équations diophantiennes assez compliquées . 3dfeb338d97a5b60693aa261f4b84879f8d32e7b Or Des équations diophantiennes assez compliquées . 619c9da70ff852c4aa525e4ce743181d9d5a1793 donc Des équations diophantiennes assez compliquées . Bc87177149186a028aa0f6da5e5170764fac24aa i.e Des équations diophantiennes assez compliquées . C61daed1e9780bb7425dda2cc8d3abea9d95117d et Ainsi Des équations diophantiennes assez compliquées . 7e9c3430899eccb6bdb473397f879c382ec38455 comme Des équations diophantiennes assez compliquées . 719262cd45830248133d8a9183d18f9b43c1a7cb alors d'aprés l'inégalité de Bernoulli Des équations diophantiennes assez compliquées . 74238cb93c406c3990dc8ee096e6659d89639c8b en contradiction avec l'inégalité ci dessus , et du coup il est facile de vérifier les solution triviaux.
3) il est facile de vérifier que Des équations diophantiennes assez compliquées . Dd321810d4615ab08d701c054ced3c19ff7cec3c d'aprés l'équation Des équations diophantiennes assez compliquées . 50614d89c25122350631d4da1e01279f9185a1f6 il en résulte que Des équations diophantiennes assez compliquées . D580b21f95c855796635a6a8d53ef4912f8be0b9 et Des équations diophantiennes assez compliquées . D6746a3b05c2508d0a710b82923f559cfd9039d6 donc Des équations diophantiennes assez compliquées . B75086515870415ab0cd256f6aec3af2c96a2f2b et Des équations diophantiennes assez compliquées . 0966756f2f15b213599ad4c406f1c2bb527a81d4 , si Des équations diophantiennes assez compliquées . Edd2ccb95f98d9f5378ced0473cd2cc734fc5bc1 alors Des équations diophantiennes assez compliquées . 2386dea119bea431f1a92506837a305965528222 et Des équations diophantiennes assez compliquées . F13fab1d49eee549e0272ba229b866be2271da07 ce qui n'est pas vrai y compris l'égalité, Ainsi Des équations diophantiennes assez compliquées . 5a8db248b72a1ffe7c7bae496972939a62c9a527 , soit Des équations diophantiennes assez compliquées . 8fc908c050cc4eb4c2a16e8b8e56915adac20b09 et soit Des équations diophantiennes assez compliquées . A577cf6bc9719b29e551d3b6ca12967d8fd50783 donc on a Des équations diophantiennes assez compliquées . B3bf1b62ce368cb93a41e9ce6e9b70298e3fe020 ce qui donne Des équations diophantiennes assez compliquées . Ef3dd9623799488dd7cf3ea70be1a7a3eb4fb053 , si Des équations diophantiennes assez compliquées . C7ac4eaee6946e86ec8f7a22cba6c6dbf6bf68c7 alors Des équations diophantiennes assez compliquées . 20b9a3fe3a2da1a0c5bfebaddd2a771ea662a84b et donc Des équations diophantiennes assez compliquées . 410c482d2c15a13b5c6d5c17a543cb403b42ce01 ce qui n'est pas vrai, Ainsi Des équations diophantiennes assez compliquées . 8f0dfd2fea8c9e59fd99b1fcb73bfa3d798fad0b et Des équations diophantiennes assez compliquées . B8380024bed3711b9b517ee428ff92a9789a65db Maintenant si Des équations diophantiennes assez compliquées . 332d3d090391450d530ce0a5463c703c6d48f29d on a Des équations diophantiennes assez compliquées . B8380024bed3711b9b517ee428ff92a9789a65db il s'ensuit que Des équations diophantiennes assez compliquées . 2eff29506f98a32cf523441eee6c56cddf75b89b et Des équations diophantiennes assez compliquées . Df0678bc143b60fef54405a50df05bcf30b757ac car Des équations diophantiennes assez compliquées . 626b08b8dbc7b1320ecd14a3872b0de6fdbd51b9 Ainsi d'aprés l'equation original Des équations diophantiennes assez compliquées . 3decfee3cc4af8025ca5992ada3b9f8e6c8be458 ce qui est contradictoire avec Des équations diophantiennes assez compliquées . Eddd4287ce8def7ff4a2bb6455c0a74c784c06f5 ,si Des équations diophantiennes assez compliquées . A643236d5d913844b5a2a6f290d5da31b82e52f1 alors Des équations diophantiennes assez compliquées . 3bb6e5fa2cf97b0e39a1c823557e6ed199978cb5 donc Des équations diophantiennes assez compliquées . 758ed2312b37aae24498703afea029b4aad783c6 est solution , si Des équations diophantiennes assez compliquées . B57854f79c006e7ee17e47e62ff34bed0bcc3a4b alors Des équations diophantiennes assez compliquées . 7bcf110b9dd096c148e1d88a07134da7c2dca7d2 ce qui ne satisfie pas l'equation
4) le problème est équivalent de chercher tous les entiers naturels n tel que Des équations diophantiennes assez compliquées . B5eeaf8c3f15de0aafadbbc362c0e233a762c1dc soit un entier qui est un ancien problème de l'IMO 199...(je me rappele plus du dernier chiffre..)
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