Bonjour abdelbaki,
C'est un type de problème assez connu (dans le monde des équations fonctionnelles) et auquel il est impossible de répondre avec exhaustivité : il y a une infinité de fonctions continues définies sur R et telles que f o f = exp.
La façon la plus simple que je connaisse pour en construire est la suivante :
- Prendre un nombre réel a dans ]-oo, 0[
- Soit alors la suite de réels strictement croissante et de limite +oo :
u0 = a
u1 = 0
u_(n+2) = exp(u_n) pout tout n > 1
- prendre une fonction h quelconque vérifiant les propriétés suivantes :
h est définie continue monotone croissante sur ]-oo, a]
lim h en -oo est a
h(a) = 0
h est inversible et il existe une fonction h^[-1] de ]a,0] dans ]-oo, a]
On peut alors définir la suite de fonctions h0, h1, h2, ... suivante :
sur [u0, u1[ : h0(x) = exp(h^[-1](x))
h0 est définie continue monotone croissante et inversible de [u0, u1[ dans [u1, u2[
sur [u1, u2[ : h1(x) = exp(h0^[-1](x))
h1 est définie continue monotone croissante et inversible de [u1, u2[ dans [u2, u3[
... et ainsi de proche en proche :
sur [u_n, u_(n+1)[ : h_n(x) = exp(h_(n-1)^[-1](x))
h_n est définie continue monotone croissante et inversible de [u_n, u_(n+1)[ dans [u_(n+1), u_(n+2)[
La fonction f définie comme suit est alors solution continue de f o f = exp :
sur ]-oo, a[ : f(x) = h(x)
sur [u_n, u_(n+1)[ : f(x) = h_n(x) pour tout n >= 0
Il y a bien une infinité de telles fonctions.
On peut même en construire des C1, C2, C3, ...
Je ne suis pas sûr qu'on puisse en exhiber qui soit Coo mais je crois que oui.
Je crois qu'on ne sait pas si on peut en trouver qui soient analytiques sur R.
Je crois qu'on a démontré qu'on ne pouvait trouver de solution sur Z qui soit holomorphe.
Patrick
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