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 ln(x) suite

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Coeur69
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MessageSujet: ln(x) suite   Dim 13 Fév 2011, 20:35

bonjour j aurais besoin d aide

pour la a on voit que c'est la formule de la tangente
pour la b je n arrive pas a derivée donc je suis bloquée

soit a un réel strictement positif , on considére la droite T tangente a la droite Cln au point d abs a
a) prouver que l equation de T est y =x/a - 1 + ln(a)
b) g definie sur 0;+ l infini : g(x) = ln(x) - (x/a - 1 + ln(a)) calculer g'x) , etudier sont signe , tableau de variation de g
c) deduire le signe de g(x) sur 0,+l infini . Que peut on deduire concernant Cln?
d) demontrer que pour tout reel a >0 on a : 0<ln(a+1)-ln(a)≦ 1/a
e) a l aide de la question d) determiner limite : lim(a tend vers +∞ ) (ln(a+1)-ln(a)) que peut on en deduire concernant courbe Cf

merci
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Dim 13 Fév 2011, 21:26

g'(x)=1/x-1/a
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 10:29

le signe est positif non ?
comme 1/x est positif sur 0,+ l infini et 1/a aussi ??
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 10:30

je ne sais pas ce qu on peut en deduire par rapport a la courbe de ln...
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 10:30

svp il faudrais que je finisse ce soir cet exo
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 10:45

g'(x)=1/x-1/a=(a-x)/ax

donc :le signe de g' est celui de (a-x) (car ax>0)

g'(x)>=0 sur ]0,a]
g'(x)=<0 sur[a,+00[
g'(a)=0

a toi...
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 18:03

quand je derive moi je trouve 1/x - 2/a
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 18:10

comment je fait pour l encadrement de la question d je n est jamais fait ca
svp
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 19:37

svp svp
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:15

salam:

c) on a g est croissante sur ]0,a] et décroissante sur [a,+00[ ==> g(x)=<g(a)

g(a)== ln(a) - (a/a - 1 + ln(a))=0

==>g(x)=<0.

=>g(x)= ln(x) - (x/a - 1 + ln(a))=<0 ==> ln(x) =< (x/a - 1 + ln(a))

.............
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:24

d)
pour la premiere:

pour tout reel a >0 on a : ln(a+1)-ln(a)=ln((a+1)/a)=ln(1+1/a)

comme a>0 =>1/a >0 =>1+1/a >1 =>ln(1+1/a)>0

d'ou ln(a+1)-ln(a)>0.

pour la 2eme:

on a ln(x) - (x/a - 1 + ln(a))=<0 <=> ln(x)-ln(a)=<x/a -1

on remplace x=a+1 dans l'inéquation: on aura :ln(a+1)-ln(a)=<(a+1)/a -1 =1+1/a -1=1/a

tanmirt
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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:29

pour la limite en + l infini je ne sais pas je me rappel juste que la lim de ln(x) quand x tend vers + l infini = + l infini
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:38

lim(a tend vers +∞ ) (ln(a+1)-ln(a)) =lim(a tend vers +∞ ) (ln(a+1)/a) =lim(a tend vers +∞ ) (ln(1+1/a))=ln(1+0)=ln(1)=0
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:41

ou bien:
on a:

0<ln(a+1)-ln(a)≦ 1/a comme lim a->+00 (1/a)=0

==>par théorème d'encadrement =>lim a->+00(ln(a+1)-ln(a))=0

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Coeur69
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:45

ca signifie qu a ce moment la la courbe coupe l axe des abs?
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amazigh-tisffola
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MessageSujet: Re: ln(x) suite   Mar 15 Fév 2011, 21:50

Coeur69 a écrit:
ca signifie qu a ce moment la la courbe coupe l axe des abs?
lim a->+00 ln(a+1)-ln(a)=0
LA COURBE admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en +00
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