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 Troisième olympiade de première [24 février 2011]

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Combien de problèmes parmi les 4 avez-vous résolu ?
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Dijkschneier
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MessageSujet: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 18:03

Exercice 1 :
Trouver la valeur maximale de la constante réelle C telle que :
Pour tous réels x et y, x²+y²+1>=C(x+y)
Exercice 2 :
Montrer que l'équation x²+p|x|=qx-1 admet 4 solutions réelles si et seulement si p + |q| + 2 < 0
(p et q sont deux paramètres réels).
Exercice 3 :
Déterminer toutes les fonctions f : IR -> IR vérifiant la relation :
Pour tous réels x et y : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))
Exercice 4 :
Soit ABCD un quadrilatère convexe dont les mesures des angles ABC et BCD ne sont pas inférieurs à 120.
Montrer que AC+BD>AB+BC+CD.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 18:09

Solution au problème 1 :
Nous allons prouver que C=sqrt(2) est la valeur qui convient.
Soit à montrer : x²+y²+1>=sqrt(2) (x+y)
Cette inégalité est équivalente à (x-sqrt(2)/2)²+(y-sqrt(2)/2)²>=0, ce qui est vrai.
Et puisque (x,y)=(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) est un cas d'égalité, alors C=sqrt(2) est la meilleure valeur qui peut être choisie.

Solution au problème 2 :
L'équation x²+p|x|=qx-1 à résoudre dans IR se divise naturellement en deux équations :
x²+px=qx-1 <==> x²+(p-q)x+1=0 (1) à résoudre dans IR+
x²-px=qx-1 <==> x²-(p+q)x+1=0 (2) à résoudre dans IR-
Puisque l'équation originale admet 4 solutions réelles distinctes, alors chacune de ces deux équations doit admettre 2 solutions réelles distinctes (car une équation du second degré admet au maximum 2 solutions réelles distinctes, et donc pour qu'on ait 4 solutions, il faut que chacune produise 2 solutions).
(1) : x²+(p-q)x+1=0 a deux solutions positives, donc d'une part : Delta = (p-q)² - 4 > 0, |p-q|>2 (*)
Et d'autre part : x²=-(p-q)x-1 >= 0, donc -(p-q)x>=1, donc (p-q)x<=-1.
Ainsi, si on suppose que p-q>0, on aurait (p-q)x >= 0 (car x est positif), ce qui est une contradiction avec (p-q)x<=-1.
Par suite: p-q<0, et (*) devient : q-p>2, ou encore, q>2+p
(2) : x²-(p+q)x+1=0
De la même manière on prouve que q<-2-p
Finalement, 2+p<q<-2-p, ce qui implique le résultat désiré.
Inversement, si p+2+|q|<0, alors les deux deltas sont positifs et les solutions pour chacune des équations entrent dans l'ensemble où l'on recherche les solutions (R+ et R- respectivement), ce qui produit 4 solutions distinctes (2 positives et 2 négatives) et qui achève la preuve.

Solution au problème 3 :
Soit f une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle.

- Supposons que f est constante. On prouve alors facilement que f est la fonction nulle.
Soit désormais une fonction réalisant l'équation fonctionnelle et non constante.
Soit P(x,y) la fonction propositionnelle : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))

- Supposons qu'il existe un réel c tel que f(c)=0
Soit y un réel tel que f(y) n'est pas nul (ce réel existe car f n'est pas constante).
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y) = f(c)
==> f(y) [ c-1] = 0
==> c-1=0
==> c=1
Ainsi : f(x)=0 ==> x=1

- Puisque f est non constante, alors il existe un réel c tel que f(c) est différent de 1.
On cherche à trouver un y tel que : y+2f(c)=c+yf(c)
<=> y(1-f(c))=c-2f(c)
<=> y = (c-2f(c))/(1-f(c))
Soit donc y le réel : (c-2f(c))/(1-f(c))
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y+2f(c)) = f(c+yf(c))
==> (c-2)f(y) = 0 ( car f(y+2f(c)) = f(c+yf(c)) )
==> c=2 ou f(y)=0
==> c=2 ou y=1 (d'après le tiret précédent)
==> c=2 ou (c-2f(c))/(1-f(c)) = 1
==> c=2 ou c-2f(c)=1-f(c)
==> c=2 ou f(c)=c-1
Ainsi : x tel que f(x) est différent de 1 ==> x=2 ou f(x)=x-1
Ou encore : x différent de 2 ==> f(x)=1 ou f(x)=x-1 (*)

- P(2,0) ==> f(2f(2))=f(2)
Supposons que f(2) est différent de 1.
Alors 2f(2) est différent de 2, et donc d'après le tiret précédent, on a soit : f(2f(2))=2f(2)-1, ou bien f(2f(2))=1
Dans le premier cas, on aurait 2f(2)-1=f(2), c'est-à-dire, f(2)=1. Contradiction.
Dans le second cas, on aurait 1=f(2), contradiction.
Par suite : f(2)=1

- Supposons qu'il existe un réel c tel que f(c)=1
P(c,0) ==> (c-2)f(0) + f(2f(c)) = f(c)
==>(c-2)f(0) + f(2) = 1
==> (c-2)f(0)=0
==> c-2=0 (car f(0) ne peut pas être nul puisqu'il peut soit être égal à 1, soit à 0-1=-1 )
==> c=2
Ainsi : f(x)=1 ==> x=2
Par conséquent, et d'après (*), il vient : x différent de 2 ==> f(x)=x-1
Et puisque f(2)=1=2-1, alors on peut écrire : pour tout réel x : f(x)=x-1
Inversement, la fonction x --> x-1 est solution à l'EF.

Synthèse :
Les deux solutions à l'EF sont la fonction nulle et la fonction x --> x-1

Solution au problème 4 :

En appliquant la loi des sinus dans le triangle ABC, on a : AC/sinB = AB/sinBCA = BC/sinBAC.
Et puisque AB/sinBCA = BC/sinBAC = (AB+BC)/(sin BCA + sinBAC), alors : AC/sinB = (AB+BC)/(sin BCA + sinBAC) (*)
De la même manière, en raisonnant sur le triangle BCD, on trouve une relation analogue : BD/sinC = (CD+BC)/(sinBDC + sinCBD) (**)
Ainsi, en utilisant (*) et (**), l'inégalité à prouver devient équivalente à : alpha(AB+BC) + beta(CD+BC) > AB+BC+CD
où alpha = sinB / (sin BCA + sinBAC) et beta = sinC / (sinBDC + sinCBD)
<==> (alpha-1)AB + (beta-1)CD + (alpha+beta-1)CD > 0
On peut observer alors qu'il suffit de démontrer que alpha,beta > 1, pour qu'on soit bon.
Mais puisque alpha et beta jouent à peu près les mêmes rôles, vue la symétrie de la figure (en particulier, le fait que les deux angles B et C soit tous deux plus grands que 120), on peut se suffire à démontrer que alpha>1
<==> sinB / (sin BCA + sinBAC) > 1
<==> sinB > sin BCA + sinBAC (le sinus des angles géométriques est positif)
<==> sin(x) > sin(y) + sin(pi-x-y)
<==> sin(x) > sin(y) + sin(x+y)
où x=B et BCA=y, et BAC=pi-x-y car ABC est un triangle
Soit la fonction : f(x) = sin(x) - sin(y) - sin(x+y), où y est fixe et x variable.
Cette fonction est dérivable et de dérivée : f'(x)=cos(x)-cos(x+y)
f'(x) >= 0 <==> cos(x)>=cos(x+y), ce qui est vrai puisque pi/2<=x<=pi et pi/2<=x+y<=pi et x+y>=x (dessiner le cercle trigonométrique pour s'en convaincre)
Par suite, f est croissante sur [2pi/3, pi].
Par suite : f(x) >= f(2pi/3)
<==> f(x) >= sin(2pi/3) - sin(y) - sin(2pi/3 + y)
<==> f(x) >= sqrt(3)/2 - sin(y) - sin(pi - pi/3 +y)
<==> f(x) >= sqrt(3)/2 - sin(y) - sin(y-pi/3)
Il suffit donc de prouver que : sqrt(3)/2 - sin(y) - sin(y-pi/3) > 0
<==> sqrt(3)/2 >= sin(y)+sin(y-pi/3)
Ce qui est vrai puisque 0<=y<=pi/3, et donc sin(y)<=sqrt(3)/2, et y-pi<=0, et donc sin(y-pi/3)<=0.


Dernière édition par Dijkschneier le Sam 26 Fév 2011, 13:44, édité 6 fois
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 18:21

Bonjour Dijkschneier, j'epère que tu as bien passé.
En ce qui me concerne j'ai fait le1 ,le2,le4 et la moitié du 3.
Problème 1 : C=V2
Problème 2 : Disjonction des cas (x>=0,x<=0 et q<=0 et q>=0)
Problème 3 : J'ai trouvé la fonction nulle, mais apparement il y a aussi x=>x-1)
Problème 4: J'ai élevé au carré, ensuite j'ai fait Kachi+ Inégalité triangulaire...
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nmo
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 18:47

On remarque clairement que le test était très difficile, surtout en ce qui concerne l'équation fonctionnelle et le dernier exercice, que j'ai raté.
Pour le deuxième, je me suis bloqué à une certaine étape.
Grosso modo, je n'ai parfait qu'un seul exercice.
Je vais tenter de récupérer dans le prochain test.
Je veux savoir une chose:
Qui peut nous garantir qu'il n'existe plus une valeur supérieure à la valeur trouvée par Dijkschneier?
Et j'attends une réponse.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 18:57

Solution 1: (10 min)



Puisqu'on cherche le max de C, alors qu'on cherche le max de qui est atteint si et si que
Donc puisqu'on veut le max de C alors que C>=0 donc

Solution 2:
(50 min)

Une disjonction de cas.. Mais si nous ne prouvons pas le deuxième coté qui est:
Qu'il existe une infinité de solutions s'il n'y a pas la condition donnée qui est: p+|q|+2<0 n'aurons pas le point complet sur l'exercice. Ce que j'ai fais premièrement et c'est nécessaire.

Je posterai les autres solutions plu-tard. Je n'ai trouvé que f(x)=0 pour l'E.F. Il existe une autre solution. Il faut démontrer la surjectivité et l'injectivité pour enfin les trouvé, puis chercher f(2) .. qui vont prendre au moins une heure.. J'ai sauté celui-là et j'ai compléter le dernier exercice avec Al-Kachi.


Dernière édition par M.Marjani le Ven 25 Fév 2011, 19:35, édité 1 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 19:11

nmo a écrit:

Je veux savoir une chose:
Qui peut nous garantir qu'il n'existe plus une valeur supérieure à la valeur trouvée par Dijkschneier?
Et j'attends une réponse.
Le cas d'égalité que j'ai indiqué.
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 19:17

Voici une solution du 4eme exerice ( que m'a donné Sylphaen) extrêmement élégante, je le félicites.
Voilà :
AC+BD>V(AB²+BC²+AB.BC) + V(BC²+CD²+CD.BC)
et comme V(x²+y²+xy)> x + y/2 donc AC+BC>AB+BC/2+CD+BC/2=AB+BC+CD

CQFD Very Happy
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 19:22

Élégante, en effet.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 19:33

C"etait un test tres difficile,surtout l'equation fonctionelle que j'ai rate car j'ai trouve seulement f(x)=0 et que je n'ai pas eu le temps de recopier, j'ai suppose l'injectivite j'ai trouve f(x)=x/2 mais apres le remplacement dans la relation ca ne donne pas une egalite mais je l'ai comme meme ecris comme reponse!
Grosso modo, c'est dificile!
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Mehdi.L
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 22:16

C'était Difficile ..
En ce qui me concerne , j'ai fait le premier exo dont je suis sur a 100% puis le deuxième .. mais j'ai pas très bien montré la contre-implication...
le 4ème exercice , je m'y suis pas trop investi mais c'était facile à ce que je vois ...
3ème exo, j'ai supposé l'injectivité et j'ai trouvé f(x)=x/2 après remplacement , j'ai vu que ça ne donne pas d'égalité , ce qui fait que je n'ai pas mis ça sur ma feuille .
Donc en tout , 2 exos et peut-être mm que j'aurais pas la totalité du point du 2ème exo ...
Je vais donc essayer de ratrappé la semaine prochaine Very Happy
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 23:21

Dijkschneier a écrit:
Solution au problème 1 :
Nous allons prouver que C=sqrt(2) est la valeur qui convient.
Soit à montrer : x²+y²+1>=sqrt(2) (x+y)
Cette inégalité est équivalente à (x-sqrt(2)/2)²+(y-sqrt(2)/2)²>=0, ce qui est vrai.
Et puisque (x,y)=(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) est un cas d'égalité, alors C=sqrt(2) est la meilleure valeur qui peut être choisie.

Solution au problème 3 :
Soit f une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle.

- Supposons que f est constante. On prouve alors facilement que f est la fonction nulle.
Soit désormais une fonction réalisant l'équation fonctionnelle et non constante.
Soit P(x,y) la fonction propositionnelle : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))

- Supposons qu'il existe un réel c tel que f(c)=0
Soit y un réel tel que f(y) n'est pas nul (ce réel existe car f n'est pas constante).
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y) = f(c)
==> f(y) [ c-1] = 0
==> c-1=0
==> c=1
Ainsi : f(x)=0 ==> x=1

- Puisque f est non constante, alors il existe un réel c tel que f(c) est différent de 1.
On cherche à trouver un y tel que : y+2f(c)=c+yf(c)
<=> y(1-f(c))=c-2f(c)
<=> y = (c-2f(c))/(1-f(c))
Soit donc y le réel : (c-2f(c))/(1-f(c))
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y+2f(c)) = f(c+yf(c))
==> (c-2)f(y) = 0 ( car f(y+2f(c)) = f(c+yf(c)) )
==> c=2 ou f(y)=0
==> c=2 ou y=1 (d'après le tiret précédent)
==> c=2 ou (c-2f(c))/(1-f(c)) = 1
==> c=2 ou c-2f(c)=1-f(c)
==> c=2 ou f(c)=c-1
Ainsi : x tel que f(x) est différent de 1 ==> x=2 ou f(x)=x-1
Ou encore : x différent de 2 ==> f(x)=1 ou f(x)=x-1 (*)

Pourquoi ce qui est en bleu est juste? Pourquoi on va prouver x²+y²+1>=sqrt(2) (x+y)? Comment on va savoir que C=sqrt(2) et non une autre valeur qui est > sqrt(2) ? Pourquoi prendre le cas d'égalité sachant que
(x-(sqrt(2)/2))^2+(y-(sqrt(2)/2))^2>=0 ?
La même chose: "chercher y tel que: y+2f(c)=c+yf(c)" nécessite d'explications.

A part, j'ai aimé ta démarche pour résoudre le 2éme et qui le suit.


Dernière édition par M.Marjani le Ven 25 Fév 2011, 23:42, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Ven 25 Fév 2011, 23:40

Oui c'était le même cas pour moi aussi Mehdi , j'ai trouvé le premier .Le 2e on sait que le truc du discriminant est par équivalence donc pour la 2 e partie de l'exercice je l'ai fait avec des équivalences .le 4 eme le théorème de Alkachy m'a échappé donc moi aussi j'ai vu que ce n'était pas difficile. Pour le 3 eme bah j'ai po beaucoup réfléchi . ET je souhaite bien sure récupérer dans la prochaine épreuve .
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yasserito
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 11:52

M.Marjani a écrit:
Dijkschneier a écrit:
Solution au problème 1 :
Nous allons prouver que C=sqrt(2) est la valeur qui convient.
Soit à montrer : x²+y²+1>=sqrt(2) (x+y)
Cette inégalité est équivalente à (x-sqrt(2)/2)²+(y-sqrt(2)/2)²>=0, ce qui est vrai.
Et puisque (x,y)=(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2) est un cas d'égalité, alors C=sqrt(2) est la meilleure valeur qui peut être choisie.

Solution au problème 3 :
Soit f une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle.

- Supposons que f est constante. On prouve alors facilement que f est la fonction nulle.
Soit désormais une fonction réalisant l'équation fonctionnelle et non constante.
Soit P(x,y) la fonction propositionnelle : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))

- Supposons qu'il existe un réel c tel que f(c)=0
Soit y un réel tel que f(y) n'est pas nul (ce réel existe car f n'est pas constante).
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y) = f(c)
==> f(y) [ c-1] = 0
==> c-1=0
==> c=1
Ainsi : f(x)=0 ==> x=1

- Puisque f est non constante, alors il existe un réel c tel que f(c) est différent de 1.
On cherche à trouver un y tel que : y+2f(c)=c+yf(c)
<=> y(1-f(c))=c-2f(c)
<=> y = (c-2f(c))/(1-f(c))
Soit donc y le réel : (c-2f(c))/(1-f(c))
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y+2f(c)) = f(c+yf(c))
==> (c-2)f(y) = 0 ( car f(y+2f(c)) = f(c+yf(c)) )
==> c=2 ou f(y)=0
==> c=2 ou y=1 (d'après le tiret précédent)
==> c=2 ou (c-2f(c))/(1-f(c)) = 1
==> c=2 ou c-2f(c)=1-f(c)
==> c=2 ou f(c)=c-1
Ainsi : x tel que f(x) est différent de 1 ==> x=2 ou f(x)=x-1
Ou encore : x différent de 2 ==> f(x)=1 ou f(x)=x-1 (*)

Pourquoi ce qui est en bleu est juste? Pourquoi on va prouver x²+y²+1>=sqrt(2) (x+y)? Comment on va savoir que C=sqrt(2) et non une autre valeur qui est > sqrt(2) ? Pourquoi prendre le cas d'égalité sachant que
(x-(sqrt(2)/2))^2+(y-(sqrt(2)/2))^2>=0 ?

La même chose: "chercher y tel que: y+2f(c)=c+yf(c)" nécessite d'explications.
A part, j'ai aimé ta démarche pour résoudre le 2éme et qui le suit.

pour prouver que V2 est la vraie maximale valeur sufit de prouver le cas d'egalite
x²+y²+1=V2(x+y) =>(x-1/V2)²+(y-1/V2)²=0 alors x=y=V2/2
amicalement
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 12:42

La valeur C=sqrt(2) se devine après "un travail préliminaire" fait au brouillon.
Une fois deviné, la rédaction formelle s'en suit.
Dans une rédaction mathématique, on n'est pas forcé d'expliquer d'où l'idée de la solution nous est venue : ce qu'on nous demande, c'est seulement de prouver la véracité d'une proposition. Lisez George Polya...


Dernière édition par Dijkschneier le Mar 29 Juil 2014, 07:39, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 13:06

Bonjour tout le monde,
Je voudrais savoir une chose :
Le problème 2 j'ai montré l'équvalence, les deux implications.
Ainsi je n'ai pas besoin de m'assurer des valeurs s'ils sont en IR+ oU IR-.
N'est-ce-pas?
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 13:39

Je crois que si.
Sinon, chaque équation ne produirait pas forcément 2 solutions, et ainsi, la solution originale n'admettrait pas forcément 4 solutions.
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 14:10

On doit vérifier les solutions si on raisonne par une seule implicaion.
Mais vu que c'est une équivalence, alors les 4 solutions existent.
A mon avis, c'est pas la peine
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 14:13

Mais tu n'as pas d'équivalence...
Qu'une équation du second degré admette deux solutions réelles positives n'est pas équivalent à Delta > 0
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 14:19

Je ne parle pas de cette équivalnce.
Mais celle-là: (L'équation admet 4 solutions réelles)<=>p+|q|+2<0
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 14:22

De toute façon, le fait de s'assurer est trivial, j'ai peut-être oublié.
On ne me retranchera rien j'espère Very Happy
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nmo
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 17:12

M.Marjani a écrit:
Solution 1: (10 min)


Puisqu'on cherche le max de C, alors qu'on cherche le max de qui est atteint si et si que
Donc puisqu'on veut le max de C alors que C>=0 donc
Personnellement, j'ai utilisé la procédure Dijkschneier même si je ne suis pas totalement satisfait.
Lorsque je vois ton message, je trouve ce que je veux: une solution bonne.
Cependant, je vois que ce qui est en rouge risque d'être faux, mais vu le quantificateur universel, on peut choisir .
Et la methode sera très bonne, à mon avis.
Dijkschneier a écrit:
Mais tu n'as pas d'équivalence...
Qu'une équation du second degré admette deux solutions réelles positives n'est pas équivalent à Delta > 0
J'ignore ce point pertinent qui a basé ma solution bourbeuse pour cet exercice, et je me pose la question pourquoi?
medamine. a écrit:
ET je souhaite bien sure récupérer dans la prochaine épreuve.
J'aime ces paroles, car moi aussi je dois le faire ou bien dire adieu aux olympiades!
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Sporovitch
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 17:34

nmo a écrit:
M.Marjani a écrit:
Solution 1: (10 min)


Puisqu'on cherche le max de C, alors qu'on cherche le max de qui est atteint si et si que
Donc puisqu'on veut le max de C alors que C>=0 donc
Personnellement, j'ai utilisé la procédure Dijkschneier même si je ne suis pas totalement satisfait.
Lorsque je vois ton message, je trouve ce que je veux: une solution bonne.
Cependant, je vois que ce qui est en rouge risque d'être faux, mais vu le quantificateur universel, on peut choisir
.
Et la methode sera très bonne, à mon avis.
Hmmm
Pourquoi ?
En fait je suis d'accord avec Dijkchneir c'est ce que j'avais fait aussi apres avoir trouver le C tu passe a une solution mystérieuse
on pose a=b=racine(2)/2 ==> C=<racine (2) et on montrer que pour C=racine(2) l'inégalité est vraie pour tout x et y
de meme POUR b) du test de la 2eme année bac
on pose a=b=racine(3)/3 ==> C=<racine(3) ...
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 18:08

@nmo :
Pour mieux t'en convaincre, tu peux voir que la fonction f(x,y)=(x²+y²+1)/(x+y) à deux variables définie sur IR² privé de la droite x+y=0 admet un minimum égal à C=sqrt(2).
Mais puisque un minimum est aussi une borne inférieure, alors C=sqrt(2) est la plus constante telle que pour tous x et y de D_f : f(x,y)>=sqrt(2)
C'est-à-dire que sqrt(2) est la plus grande constante telle que pour tous x et y de D_f : x²+y²+1>=sqrt(2)(x+y)
Et puisque si x+y=0, alors x²+y²+1>=0=sqrt(2)(x+y), alors C=sqrt(2) est toujours la plus grande constante telle que pour tous x et y de IR : x²+y²+1>=sqrt(2)(x+y)
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 18:09

Remarque pour a=b=1 on trouve C = 3/2 est ce que 3/2 est la bonne solution pour autant ?? C'est pas suffisant je trouve . le dernie post de Dijck est une bonne justfication .
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 19:19

Soporovitch a écrit:
C'est ce que j'avais fait aussi apres avoir trouver le C tu passe a une solution mystérieuse
on pose a=b=racine(2)/2 ==> C=
de meme POUR b) du test de la 2eme année bac
on pose a=b=racine(3)/3 ==> C=

En fait de quelles a et b tu parles? S'il s'agit de x et y tu seras tombé au piège.

darkpseudo a écrit:
Remarque pour a=b=1 on trouve C = 3/2 est ce que 3/2 est la bonne solution pour autant ?? C'est pas suffisant je trouve .

OUi, on cherche Une constante qui soit satisfaite pour tout couple (x,y) n'oublions pas. D'où l'importance de lire les quantificateurs bien.
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Aujourd'hui à 00:30

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Troisième olympiade de première [24 février 2011]
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