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 Troisième olympiade de première [24 février 2011]

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Combien de problèmes parmi les 4 avez-vous résolu ?
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Total des votes : 21
 

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nmo
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 19:44

Revenons encore au premier exercice, en attente d'une réponse concernant le signe du discriminent du trinôme du second degré et l'équivalence:
Que pensez-vous à cette solution?

Au plaisir.
P.S:Ce n'est pas de ma création, je l'ai trouvé en naviguant sur Internet.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 21:38

Dijkschneier a écrit:
La valeur C=sqrt(2) se devine après "un travail préliminaire" fait au brouillon.
Une fois deviné, la rédaction formelle s'en suit.
Dans une rédaction mathématique, on n'est pas forcé d'expliquer d'où l'idée de la solution nous est venue : ce qu'on nous demande, c'est seulement de prouver la véracité d'une proposition.
Et c'est l'une des valeurs du "problem solving skill" : une analyse profonde au brouillon, puis une rédaction obscure et mystérieuse au propre.
Lisez George Polya...

Cela est pour le premier exercice? Mais, entre parenthèses, le fait de travailler en abstrait et ne pas citer plus de preuves sur la manière dont on avait la réflexion d'avoir une idée non évidente, pourrait dans le plus des cas avoir de mauvais résultats sur la manière de corriger également.

Ces arguments ne sont plus convaincantes s'il s'agissait du 3éme problème. Voyons pourquoi:

Dijkschneier a écrit:
Solution au problème 3 :
Soit f une fonction vérifiant l'équation fonctionnelle.

- Supposons que f est constante. On prouve alors facilement que f est la fonction nulle.
Soit désormais une fonction réalisant l'équation fonctionnelle et non constante.
Soit P(x,y) la fonction propositionnelle : (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x))

- Supposons qu'il existe un réel c tel que f(c)=0
Soit y un réel tel que f(y) n'est pas nul (ce réel existe car f n'est pas constante).
P(c,y) ==> (c-2)f(y) + f(y) = f(c)
==> f(y) [ c-1] = 0
==> c-1=0
==> c=1
Ainsi : f(x)=0 ==> x=1

- Puisque f est non constante, alors il existe un réel c tel que f(c) est différent de 1.
On cherche à trouver un y tel que : y+2f(c)=c+yf(c)

Si j'ai compris le sens où se dirige la solution pour avoir y+2f(c)=c+yf(c) est de tenter de donner à "x" la valeur de "c" tel que f(c)=0 après avoir f(y) [ c-1] = 0. Donc on tombe sur le fait que
f(y+2f(x))=f(x+yf(x)) dont tu a très besoin de l'injectivité pour déduire ce que j'ai supposé. Sinon la question serait toujours "Pourquoi?".
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 22:22

@M.Marjani : je n'ai pas très bien compris ce que tu as voulu dire.
Si tu insinues que présenter des preuves mathématiques sans révéler clairement les idées intérieures qui nous ont motivées à penser une telle preuve est une démarche qui peut être sévèrement sanctionnée lors de la correction, je ne suis pas d'accord. L'objectif est de montrer une proposition, pas de décrire les étapes intellectuelles que l'on a du suivre afin d'aboutir à la démonstration.

Et j'ai recherché un y tel que : y+2f(c)=c+yf(c) car cela permet de se débarrasser de f(y+2f(c)) et de f(c+yf(c)) dans l'équation fonctionnelle. Cette étape est cruciale dans ce problème.
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Sam 26 Fév 2011, 23:15

@Dijkschneier:

Je parle plutôt d'un résultat non évident, ce n'est pas le cas de présenter une factorisation qui parait axiomatique par développement, ou réduire des étapes intuitives.. Non ce n'est pas les propos que je propose à vous. Ce qui fais paraitre l'ambiguïté dans n'importe qu'elle solution c'est d'utiliser des théorèmes sans les citer ou devancer des étapes.
Et ça revient au correcteur. Parce qu'il n'y a pas une grande possibilité de vérifier et de contempler la solution pendant une longue période, il y a peu de temps consacré à chaque feuille, surtout-surtout qu'il l'attend un tas de papiers qui doit les terminé dans un temps limité..

D'une coté, comment peut-on supposer y+2f(c)=c+yf(c) sachant que c'est une équation fonctionnel, qui est une perte de généralité et qu'elle est équivalente à: f(c)*(y-2)=y-c ? qui garantit qu'il existe une valeur "y-c" égale à f(c)*(y-2)? Ou encore on suppose que c se diffère de y [Car elle donne une fonction constante] alors que y est différent de 2, f(c)=[y-c]÷[y-2].
<==> f(c)=1- [c-2]÷[y-2]. Une fois cela est prouvé, je te féliciterai de la creativité de cette belle solution.
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Dim 27 Fév 2011, 12:10

Ce que je fais, c'est prendre un y égal à (c-2f(c))/(1-f(c)).
C'est tout.
Et cela est permis.
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yasserito
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Dim 27 Fév 2011, 18:09

darkpseudo a écrit:
Remarque pour a=b=1 on trouve C = 3/2 est ce que 3/2 est la bonne solution pour autant ?? C'est pas suffisant je trouve . le dernie post de Dijck est une bonne justfication .

prend x=y=V2/2 et tu trouvera selon ta remarque que 2>=3V2/2 alors 16>=18 ce qui n'est pas vrai.
amicalement:D
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Dim 27 Fév 2011, 18:46

Dijkschneier a écrit:
Ce que je fais, c'est prendre un y égal à (c-2f(c))/(1-f(c)).
C'est tout.
Et cela est permis.

C'est la plus belle des choses.
Mais si y=1 <==> f(c)=c-1 et tout sera détruit. Si en ajoutant que y est différent de 1, le point crucial pourra être dépassé.

Bien.


Dernière édition par M.Marjani le Dim 27 Fév 2011, 20:13, édité 1 fois
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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Dim 27 Fév 2011, 18:52

Je ne vois pas ce qui serait détruit.
J'ai pris un c tel que f(c) est différent de 1.
Ensuite, j'ai pris un y=(c-2f(c))/(1-f(c)), de telle façon que y soit bien défini.
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belkhayaty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 28 Fév 2011, 13:13

@yasserito : D'ou vient ton 3V2/2
Merci ! Smile
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yasserito
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 28 Fév 2011, 21:45

belkhayati je t'espliquerai:
darkpseudo avait une remarque si c=3/2 est la solution.
mais en prenant c=3/2 on a ainsi x²+y²+1>=3/2(x+y)
puisque on a qq soit x et y on choit x=y=V2/2 ainsi on a 2>3V2/2 ce qui est bien clairement faux.
amicalement Very Happy
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 00:43

[quote="M.Marjani"]Solution 1: (10 min)



Puisqu'on cherche le max de C, alors qu'on cherche le max de qui est atteint si et si que
Donc puisqu'on veut le max de C alors que C>=0 donc
[b]

pourquoi??
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M.Marjani
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 02:13

Si on cherche le max de c/2 alors le min de (-c/2) alors le min de x-c/2 donc le min de (x-c/2)² qui est 0. . .

Autre methode: Il ne faut pas négliger qu'on cherche le maximum. Alors il y a plus précisement un réel seul qui est le max de c. Puisqu'il s'agit d'un variable x, alors on peut choisir x=Max(c)/2 et donc x=y=Max(c)/2

L'inégalité peut être écrite sous la forme: (x-Max(c/2))²+(y-Max(c/2))²+1>=Max(c²/2), et en effectuant les changements on aura Max(c²/2)=<1 ... donc Max(c²/2)=1 peut-être vérifier aisément.
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 13:21

M.Marjani a écrit:
Si on cherche le max de c/2 alors le min de (-c/2) alors le min de x-c/2 donc le min de (x-c/2)² qui est 0. . .

Autre methode: Il ne faut pas négliger qu'on cherche le maximum. Alors il y a plus précisement un réel seul qui est le max de c. Puisqu'il s'agit d'un variable x, alors on peut choisir x=Max(c)/2 et donc x=y=Max(c)/2

L'inégalité peut être écrite sous la forme: (x-Max(c/2))²+(y-Max(c/2))²+1>=Max(c²/2), et en effectuant les changements on aura Max(c²/2)=<1 ... donc Max(c²/2)=1 peut-être vérifier aisément.
merci, je comprend mieux maintenant .
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hind nassri
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 17:19

SLT TT LE MONDE voici un exercice d'olympiade que j n'ai po pu le résourdre
si vous avez la réponse ,ecrivez la ça sera gentil


a , b et c sont des réels strictement positifs.
Montrer que


a^2/(a+ b)(a +c) +b^2/(b +a)(b +c)+ c^2/(c+ a)(c +b) >= 3/4


MERCI D'AVANCE
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 17:52

hind nassri a écrit:
SLT TT LE MONDE voici un exercice d'olympiade que j n'ai po pu le résourdre
si vous avez la réponse ,ecrivez la ça sera gentil


a , b et c sont des réels strictement positifs.
Montrer que


a^2/(a+ b)(a +c) +b^2/(b +a)(b +c)+ c^2/(c+ a)(c +b) >= 3/4


MERCI D'AVANCE

je crois que l'inégalité de chebyshev pourrait être utile
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kaj mima
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 21:52

manazerty a écrit:
hind nassri a écrit:
SLT TT LE MONDE voici un exercice d'olympiade que j n'ai po pu le résourdre
si vous avez la réponse ,ecrivez la ça sera gentil


a , b et c sont des réels strictement positifs.
Montrer que


a^2/(a+ b)(a +c) +b^2/(b +a)(b +c)+ c^2/(c+ a)(c +b) >= 3/4


MERCI D'AVANCE

je crois que l'inégalité de chebyshev pourrait être utile

Je ne pense pas que ça marcherait avec Chebyshev, vu que les deux suites ne seront pas rangées dans le même ordre.
Enfin, peux tu poster ta solution si tu as essayé avec Chebyshev?
Amicalement Very Happy
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 22:44

kaj mima a écrit:
manazerty a écrit:
hind nassri a écrit:
SLT TT LE MONDE voici un exercice d'olympiade que j n'ai po pu le résourdre
si vous avez la réponse ,ecrivez la ça sera gentil


a , b et c sont des réels strictement positifs.
Montrer que


a^2/(a+ b)(a +c) +b^2/(b +a)(b +c)+ c^2/(c+ a)(c +b) >= 3/4


MERCI D'AVANCE

je crois que l'inégalité de chebyshev pourrait être utile

Je ne pense pas que ça marcherait avec Chebyshev, vu que les deux suites ne seront pas rangées dans le même ordre.
Enfin, peux tu poster ta solution si tu as essayé avec Chebyshev?
Amicalement Very Happy


je n'ai pas encore essayé avec chebyshev , et je vois également que les suites ne seraient pas rangées dans le même ordre, cependant,si je ne me trompe pas, chebyshev peut être appliquée même si les deux suites ne sont pas dans le même ordre .mais pour cette exo , je ne sais pas si en l'appliquant on pourrait aboutir à une solution c'était seulement une idée qui m'est passé par la tête ,je me suis dit que peut être cela pourrait aider Wink Smile
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 22:53

Apres de longs calculs on trouve que l'inégalité est équivalente à ce qui st vrai
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az360
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:18

Azerty1995 a écrit:
Apres de longs calculs on trouve que l'inégalité est équivalente à ce qui st vrai
Deja posté dans tronc commune ...
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kaj mima
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:22

manazerty a écrit:


je n'ai pas encore essayé avec chebyshev, et je vois également que les suites ne seraient pas rangées dans le même ordre, cependant,si je ne me trompe pas, chebyshev peut être appliquée même si les deux suites ne sont pas dans le même ordre .mais pour cette exo , je ne sais pas si en l'appliquant on pourrait aboutir à une solution c'était seulement une idée qui m'est passé par la tête ,je me suis dit que peut être cela pourrait aider Wink Smile

C'est vrai, je ne dis pas non, mais en l'appliquant, tu ne serais pas entrain de prouver que l'inégalité est supérieure à 3/4 mais bien inférieure à ....
Tu vois ce que je veux dire j'espère.
Very Happy
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:27

[quote="kaj mima"]
manazerty a écrit:



C'est vrai, je ne dis pas non, mais en l'appliquant, tu ne serais pas entrain de prouver que l'inégalité est supérieure à 3/4 mais bien inférieure à ....
Tu vois ce que je veux dire j'espère.
Very Happy
oui ,je vois Smile merci kaj mima Wink
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manazerty
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:30

je me suis dis que peut être on pourrait s'en sortir même avec cette contrainte Smile
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Azerty1995
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:50

az360 a écrit:
Azerty1995 a écrit:
Apres de longs calculs on trouve que l'inégalité est équivalente à ce qui st vrai
Deja posté dans tronc commune ...
Je l'ai pas vu mais je t'assure c'est ma réponse Smile
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az360
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Lun 08 Aoû 2011, 23:54

Azerty1995 a écrit:
az360 a écrit:
Azerty1995 a écrit:
Apres de longs calculs on trouve que l'inégalité est équivalente à ce qui st vrai
Deja posté dans tronc commune ...
Je l'ai pas vu mais je t'assure c'est ma réponse Smile
oui c'est ton réponse Smile .
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ali-mes
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Mar 09 Aoû 2011, 00:50

Attendez un peu:

1)- L'inégalité de Chebyshev ne peut pas être utilisée si les suites ne sont pas rangées dans le même ordre, vous parlez plutôt de l"inégalité du réordonnement.

2)- Arrêtez de polluer ce sujet avec quelque-chose hors sujet !
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MessageSujet: Re: Troisième olympiade de première [24 février 2011]   Aujourd'hui à 20:23

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Troisième olympiade de première [24 février 2011]
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