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 problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)

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samir
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MessageSujet: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Lun 04 Déc 2006, 12:41


(l'énoncé est corrigé c'est n^3 et non n^4 ) Embarassed

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Dernière édition par le Jeu 07 Déc 2006, 23:05, édité 1 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Lun 04 Déc 2006, 12:42

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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rockabdel
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Jeu 07 Déc 2006, 21:48

Question: le reste en fx de n???
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Jeu 07 Déc 2006, 23:06

rockabdel a écrit:
Question: le reste en fx de n???
essayer maintenant car c'est corrigé maintenat .
merci pour votre compréhension

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Ven 08 Déc 2006, 10:03

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour,
P(n)=n^9-6n^7+9n^5-4n^3 =n^3(n²-1)²(n²-4)
Pour tout n, P(n) est divisible par 5 entiers consécutifs
==> 5|P(n)

si 3|n ==> 3^3 |n^3
si 3|n-1 ==> 3^3 |(n-1)²(n+2)
si 3|n+1 ==> 3^3 |(n+1)²(n-2)
==> 3^3|P(n)

si 2^2|n ==> 2^6|n^3
si 2^2|n-1 ==> 2^6|(n-1)²(n+1)²
si 2^2|n-2 ==> 2^6|n²(n+1)²(n²-4)
si 2^2|n+1 ==> 2^6|(n+1)²(n-1)²
==> 2^6|P(n)

Donc, pour tout entier n,
le reste de la division de P(n) par 8640=2^6.3^3.5 est nul.
A+

_________________
وقل ربي زد ني علما
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selfrespect
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Masculin Nombre de messages : 2514
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Ven 08 Déc 2006, 13:35

solution postée
voici la solution de selfrespect
salut
posons
on remarque que
P(n) s ecrit
ou bien
d autre part nous avons
**on a P(n)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)*A(n) /a(n)£N
==> 5/P(n) (car toujours parmi 5 entiers cosecutifs il y ona un multiple de cinq)
***si n=0[4]
ôn a
*** n=1[4]==>n-1=0[4] et 2/(n+1)==> 4²/(n-1)² et 4/(n+1)²
donc
*** n=2[4]==>n-2=0[4] et 2/(n+2) et 2/n
==>4/(n-2) et 2/(n+2) et 8/n
===>
de meme on traite les cas n=-1[4] etn=-2[4]
donc 4^3/P(n)
****n=0[3]==>3^3/n^3
n=1[3] ==>3²/(n-1)² et 3/(n+2)
n=-1[3] ==>3/(n-2) et 3²/(n+1)²
dans tout les cas 3^3/P(n)
danc cad P(n)=0[8640]
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khamaths
Maître


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Date d'inscription : 17/03/2006

MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Sam 09 Déc 2006, 18:06

Bonsoir
Solution postée Neutral
voici la solution de khamaths
Bonsoir Samir

Remarquons que: P(n) = n^3 (n² -1)²(n²-4) et 8640 = 2^6*3^3*5 =N
On a : P(0)=P(1) =p(-1) =P(2) =P(-2)=0
Montrons que: P(n) = 0 [N ] pour tt n >=3. ( = désigne congû )
Puisque 2;3;et 5 sonts premiers entre eux :Mq : 2^6 / P(n) ; 3^3 / P(n) et 5/ P(n) pour tt n.

(*).n=0[3] =====>3^3/ n^3 ====>3^3/P(n)
.n=+1 ou-1[3]=====>3/n²-1 et 3/n²-4 =====>3^3/P(n)
conclusion: 3^3/P(n) pour tt n>=3

(*).n=0[5]===>5/P(n)
.n=+1ou-1[5]===>5/n²-1=====>5/P(n)
.n=+2ou-2[5]===>5/n²-4 =====> 5/P(n)
conclusion: 5/P(n) pour tt n>=3

(*).n=0[8] =====>8²/P(n)
.n=+1ou-1[8]=====> 8/n²-1====>8²/P(n)
.n=+2ou-2[8] =====> 8/n^3 et 8/ n²-4 ====>8²/P(n)
.n= +3ou-3[8] ===> 8/ n²-1 ====>8²/P(n)
.n= 4[8] ===> 8/n² et 4/n et 2/n-2 ===>8²/P(n)
conclusion: 8²/P(n) pour tt n>=3

conclusion : P(n) = 0 [N] pour tt n dans IN
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abbas
champion de la semaine


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Date d'inscription : 25/11/2006

MessageSujet: solution 58   Sam 09 Déc 2006, 18:12

solution postée
voici la solution d'abbas
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Kendor
Féru


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MessageSujet: Solution au problème de la semaine n°58 par Kendor   Dim 10 Déc 2006, 16:56

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor
Soit P(n)=n^9-6n^7+9n^5-4n^3
On remarque que 8640=2^6*3^3*5

En factorisant,on obtient P(n)=(n-2)*(n-1)^2*n^3*(n+1)^2*(n+2)

n-2,n-1,n,n+1,n+2 sont cinq entiers consécutifs,donc l'un au moins est multiple de 5.
Donc P(n) est multiple de 5.

De même l'un au moins des cinq entiers est multiple de 3.Ce qui donne trois cas possibles:
1/n-2 et n+1 sont multiples de 3,donc P(n) est multiple de 3^3.
2/n-1 et n+2 sont multiples de 3,donc P(n) est multiple de 3^3.
3/n est multiple de 3,alors P(n) est multiple de 3^3.
Donc dans tous les cas,P(n) est multiple de 3^3.

Enfin l'un au moins des cinq entiers est multiple de 4.Ce qui donne quatre cas possibles.
1/n-2 et n+2 sont multiples de 4,n est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^7.
2/n-1 est multiple de 4,n+1 est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^6.
3/n est multiple de 4,n-2 et n+2 sont multiples de 2,donc P(n) est multiple de 2^8.
4/n+1 est multiple de 4,n-1 est multiple de 2,donc P(n) est multiple de 2^6.
Donc dans tous les cas,P(n) est multiple de 2^6.

2,3,5 étant premiers entre eux,P(n) est multiple de 2^6*3^3*5=8640.
Le reste de la division de P(n) par 8640 est donc 0.

A+

Kendor
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   Lun 11 Déc 2006, 09:33

solution officielle du problème de la semaine N°58
(solution d'abdelbaki)
P(n)=n^9-6n^7+9n^5-4n^3 =n^3(n²-1)²(n²-4)
Pour tout n, P(n) est divisible par 5 entiers consécutifs
==> 5|P(n)

si 3|n ==> 3^3 |n^3
si 3|n-1 ==> 3^3 |(n-1)²(n+2)
si 3|n+1 ==> 3^3 |(n+1)²(n-2)
==> 3^3|P(n)

si 2^2|n ==> 2^6|n^3
si 2^2|n-1 ==> 2^6|(n-1)²(n+1)²
si 2^2|n-2 ==> 2^6|n²(n+1)²(n²-4)
si 2^2|n+1 ==> 2^6|(n+1)²(n-1)²
==> 2^6|P(n)

Donc, pour tout entier n,
le reste de la division de P(n) par 8640=2^6.3^3.5 est nul.

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MessageSujet: Re: problème N°58 de la semaine (04/12/2006-10/12/2006)   

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