Arithmétiique : 111..111

Bonjour,

Montrer que tout entier n > 2, non pair et non divisible par 5 admet un multiple rep-unit ( composé uniquement de 1, càd sous la forme 111..111 )

Si ma mémoire est bonne, il existe deux preuves classiques à ce problème : une qui utilise le principe des tiroirs, et une autre qui observe qu'il suffit de montrer qu'il existe un k tel que 10^k = 1 (mod n), ce qui se montre sans difficulté.

La seconde preuve c'est ce qui m'est venu à l'ésprit en premier :
remarquons que montrer que ce rep-unit existe revient à montrer que 9*rep-unit = 99999999... = 10^k-1
et donc il suffit de trouver ce k
maintenant 10^n=1 ( n impair et non divisible par 5 )
il suffit de prendre k=ordre de 10 mod n ou k'=phi(n) ( fonction indicatrice d'Euler ) .
Je serait bien curieux de voir celle avec le principe des tiroirs ; et merci d'avance .

Deux au moins des 111...1 (k fois) lorsque k décrit IN ont le même résidu modulo n, et en prenant leur différence on achève la preuve.

Merci

Dijkschneier a écrit:

Deux au moins des 111...1 (k fois) lorsque k décrit IN ont le même résidu modulo n, et en prenant leur différence on achève la preuve.

Merci d'avoir répondu aussi vite , en effet c'est très joli ( la dérnière partie n'est néanmoins pas aussi trivial que tu voudrais le faire croire ).