mines ponts

soit G un sous groupe additif de R tel que l'ensemble { G+x/x£R} est fini montrer que G=R

Il est bien connu que ou bien G est dense dans R ou bien de la forme aZ ( discret)

Les classes modulo G sont en nombre fini par hypothèse ==> G est dense
(car IR=U(G+x) ( réunion sur x€I avec I finie) donc G ne peut pas être discret )


à suivre

Il existe N et Xk k appartient à Nn tel que

R = G + somme des Xk Z

Quitte à raisonner par récurrence on suppose n égale à 1

il suffit de montrer que si G est un groupe telque R

R = G+xZ alors G égale à R


Cette relation montre que R et G sont équipotent

G est donc dense

En fait, on n'a pas besoin de la densité de G. Voici une solution:

On suppose que IR=U(G+y) y€I avec I fini

Soit x€IR, la suite (G+nx)_(n€IN) est finie
==> ils existent p,q entiers avec p>q : G+px=G+qx
==>(p-q)x€G. On pose N(x)=Min{n>0 : nx€G}

N(g)=1 qqs g€G
N(-x)=N(x) qqs x€IR
N(kx)=<N(x) qqs k€IN et x€IR
N(x+g)=N(x) qqs x€IR et g€G
N(IR)={N(x)/x€I} fini

Soit d=produit de tous les N(y), y€I.
On a qqs x€R, il existe y€I : N(x)x=N(y)x€G ==> dx€G ==>x€1/d.G
Donc IR=1/d.G <==> IR=G

oui c'est juste Abdelbaki attioui , une méthode plus simple est de remarquer que R/G est fini est utiliser le théoreme de lagrange !
Bonne journée