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 Integrales d'Euler

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studnet-of-life
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Masculin Nombre de messages : 2
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MessageSujet: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyJeu 14 Avr 2011, 16:06

Voila j'ai passé trop d temps pour essayer de résoudre cette exercice mais j'ai po réussi No
j vous demande de l'aide si c'est possible mes frères
On pose I=l'integrale de 0 a pi/2 de ln(sin t ) dt
et J= l'integrale de 0 a pi/2 de ln(cos t ) dt
1/ Montrer que I et J sont bien definies et que I=J
2/ Calculer I+J en deduire les valeurs de I et J
Merci d'avance
ps : j'ai po trouver les singes de math !!!
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symizter
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Masculin Nombre de messages : 5
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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyJeu 14 Avr 2011, 21:21

Bonne soirée.
Pour la question (1) Il suffit de montrer que I est convergente.
Pour commencer:
- On sait que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est 1 .
- ln(sin(x)) = [ ln(sin(x)) -ln(x) ] + ln(x) = ln(sin(x)/x) + ln(x) , d'où ln(sin(x)/ln(x) =( lack]sin(x)/x)] /ln(x) )+1
tend vers 1 au voisinage de zéro+ .


Notons: g(x)= ln(x) * .
l'intégrale (de 0 à pi/2) de g est convergente.
Et on sait que, la fonction logarithme est négative au voisinage de zéro.

(En posant* : x= sin(x) )
Donc, par équivalence, I est convergente aussi.

Pour montrer que I=J , on applique un changement de variable ( Comme celui de l'intégrale de Gauss/Wallis )
Posons x= pi/2 -t .. Ce changement vérifie une classe de régularité . Donc, on peut déduire directement que J est aussi convergente et que J=I.

2) Calcul de I+J:
On applique la relation de Chasles.

Integrales d'Euler Gif
= Integrales d'Euler Gif
= Integrales d'Euler Gif ( Rappel : sin(x).cos(x) = sin(2x)/x)

= Integrales d'Euler Gif .. On applique la linéarité une autre fois.
=Integrales d'Euler Gif
Et On applique de nouveau, un changement de variable t=2x.
Après un simple calcul, on déduit que I=J= Integrales d'Euler Gif .
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studnet-of-life
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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyVen 15 Avr 2011, 00:30

Pour montrer que I=J , on applique un changement de variable ( Comme celui de l'intégrale de Gauss/Wallis )
j'ai po compris cela No
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symizter
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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyVen 15 Avr 2011, 01:20

Veuillez lire la ligne qui suit.
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mariya
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mariya

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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyVen 22 Avr 2011, 20:34

bonsoir

je voudrais savoir d'où vous avez apporté tous ces noms de relations (relation de Chasles.'intégrale de Gauss/Wallis,...) vous n'etes qu en terminale ,je suppose...
et cette forme de résonnement n'est pas celle d'un eleve de bac, parce que moi meme je ne connais pas ces relations ^^
et merci
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n.naoufal
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n.naoufal

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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler EmptyMer 01 Juin 2011, 20:48

tu es alors bien désavantagé car relation de Chasles c'est carrément du cours et l'intégral de Wallis est un classique que tu trouveras dans les problèmes du livre scolaire Al-moufid, si je me rappelle bien du livre.
Pour l'intégral de Gauss, oui elle est rare dans le parcours d'un bachelier , si on parle du coté de l'existence de l’intégral ou de l'intégrabilité d'une fonction.
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MessageSujet: Re: Integrales d'Euler   Integrales d'Euler Empty

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