Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 Joli Exo ! ( Ensemble )

Aller en bas 
AuteurMessage
Sylphaen
Expert sup
Sylphaen

Masculin Nombre de messages : 555
Age : 26
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 30/11/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 14:36

Trouver le plus petit entier naturel n tel que si l'ensemble {1,2,..n} est divisé en 2 sous ensembles disjoint , alors l'un de ses 2 sous ensembles contient 3 éléments distincts a,b,c t.q ab=c
Revenir en haut Aller en bas
Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 25
Date d'inscription : 12/12/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 14:54

{1,2,3,4,5,6} = {2,3,6}U{1,4,5}, avec 2.3=6, d'où n=6 ?!
Je ne dois pas avoir très bien compris le problème, n'est-ce pas ? Neutral
Revenir en haut Aller en bas
http://dijkschneier.freehostia.com
Sylphaen
Expert sup
Sylphaen

Masculin Nombre de messages : 555
Age : 26
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 30/11/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 15:03

La propriété de l'existence de a,b,c t.q ab=c doit être vrai pour toute division arbitraire en 2 sous ensembles .
Par exemple pour n=6
{1,2,3,4,5,6} ={1,2,3,4,5}U{6} mais aucun éléments de ses 2 sous ensembles ne contient 3 éléments a,b,c t.q ab=c..
Revenir en haut Aller en bas
Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 25
Date d'inscription : 12/12/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 17:45

Puisque ça marche pour n=36, et qu'il y a de fortes chances pour que la valeur recherchée soit 36, alors il suffit d'exhiber des contre-exemples pour tous les cas <36 et on aura terminé.
Revenir en haut Aller en bas
http://dijkschneier.freehostia.com
Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 25
Date d'inscription : 12/12/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 17:55

Plus précisément, pour tout n<36, on peut considérer comme contre-exemples les deux ensembles suivants qui forment une partition de {1,2,3,...,n} lorsque l'on prend leurs éléments qui sont <=n :
{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19,23,24,25,29,30,31}
{6,8,10,12,14,15,18,20,21,22,26,27,28,32,33,34,35}
C'est-à-dire, pour montrer par exemple que n=19 n'est pas une valeur convenable, on prend comme contre exemple les deux ensembles suivants :
{1,2,3,4,5,7,9,11,13,16,17,19}
{6,8,10,12,14,15,18}


Dernière édition par Dijkschneier le Sam 16 Avr 2011, 19:29, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
http://dijkschneier.freehostia.com
darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
Age : 26
Date d'inscription : 31/10/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 19:19

Heu prk avec n=36 dans cet ensemble ça marche pas :
( ton contre- exemple est faux vu que 7*5=35)
{1,2,3,4,5,11,13,16,17,19,23,24,25,29,30,31,35,36}
{6,7,8,9,10,12,14,15,18,20,21,22,26,27,28,32,33,34}
Revenir en haut Aller en bas
Dijkschneier
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 1482
Age : 25
Date d'inscription : 12/12/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 19:29

C'est vrai ! Je ne sais pas pourquoi j'ai affirmé que c'était 36...
Pour 35, il doit par contre être mis dans le second ensemble et ça serait bon.
Revenir en haut Aller en bas
http://dijkschneier.freehostia.com
darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
Age : 26
Date d'inscription : 31/10/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptySam 16 Avr 2011, 19:57

Je pense qu'essayer comme ça au pif ça le fait pas vu que n n'est pas aussi petit que ça , il faut trouver un algorithme ou une méthode bien défini pour éliminé les cas .
Revenir en haut Aller en bas
MohE
Expert grade2
MohE

Masculin Nombre de messages : 317
Age : 26
Localisation : Waterloo, Canada
Date d'inscription : 17/05/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptyLun 18 Avr 2011, 22:59

Dijkschneier a écrit:
Puisque ça marche pour n=36, et qu'il y a de fortes chances pour que la valeur recherchée soit 36, alors il suffit d'exhiber des contre-exemples pour tous les cas <36 et on aura terminé.
Bonsoir Dijkschneier!
Je ne crois pas que ça marche pour n=36, puisque la valeur recherché en est suppérieure, l'un de nous doit avoir commit une erreur, aussi je voulais préciser que notre ami Sylphaen n'aurait jamais proposé un problème où on doit établir des contre-exemples pour 35 cas. Ce serait gentil de ta part de revoir tes calculs ou de me repérer les erreurs dans ma démonstration.
Indice:
On ecrit E={1,2,3,4,7,9,11,13,48,60,72,80}U{6,8,10,12,...,n}
On vérifie directement que n>= 8*12= 96.
Il suffit de prouver que pour tout ecriture de D_{16}=AUB, il existe trois entiers distincts, soit tous de A soit tous de B tels que c=ab; où D_{16}={k : k|96}.
Revenir en haut Aller en bas
darkpseudo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 817
Age : 26
Date d'inscription : 31/10/2009

Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) EmptyMar 19 Avr 2011, 22:08

Pour n =96 on vas essayer de construire un contre exemple et finir par trouver que ceci est impossible .
Supposons que 2,3,4 sont dans le même ensemble
E={1,2,3,4,...,.......96}U{...6,...,8,12,...,...} (6,8,12 et 96 s'imposent)on remarque que quelque soit l'ensemble ou on met 48 on a soit 2*48=96 soit 8*6=48
Si 2,3 sont dans un ensemble et 4 dans l'autre :
E={1,2,3,...,24,........}U{4,..,6,....,48.....,72...} (4*6=24;et 2*24=48 et 3*24=72)on remarque que quelque soit l'ensemble où on met 8 on a soir 8*3=24 soit 8*6=48.
Si 2,4 sont dans un ensemble et 3 dans l'autre on a
E={1,2,4,...,24,.....}U{3,..,8,...,48,........,96}(24*4=96 et 24*2=48) et là encore 6 pose problème vu que 6*4=24 et 6*8=48 .
Si 4,3 sont dans un ensemble et 2 dans l'autre :
E={1,3,4.......,24,....}U{2,...,12,....,72,..,96} et là c'est encore 8 , on a 8*3=24 et 8*12=96 .
Finalement on a couvert toute les possibilités et 96 est bien une solution , puisque notre cher Mohe a trouvé un ensemble dans lequel n>=96 ( tu as oublié de posé le 5 Wink ) alors n=96 est bien la solution .
Sauf erreur .
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty
MessageSujet: Re: Joli Exo ! ( Ensemble )   Joli Exo ! ( Ensemble ) Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
Joli Exo ! ( Ensemble )
Revenir en haut 
Page 1 sur 1

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Combinatoire-
Sauter vers: