Sporovitch
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 | | Sujet: Une petite généralisation Sam 07 Mai 2011, 16:58 | |
| soit n un réel tel que  et  ,  ,  des réels positifs MOntrer que :  *Pour  On obtient un résultat bien connu *et pour  le probleme 2 du 6eme test passé hier . PS: Est-ce que cette inégalité est connue ? | |
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nmo
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| | Sujet: Re: Une petite généralisation Ven 13 Mai 2011, 18:03 | |
| - Sporovitch a écrit:
- soit n un réel tel que et ,, des réels positifs MOntrer que :
Je propose une démonstration en utilisant l'inégalité trigonométrique. Dans un plan orthonormé, soient les deux vecteurs: ) et ) . On a donc ) soit ;\frac{\sqrt{4-n^2}}{2}.(a+c)\bigg)) On calcule maintenant, les normes des vecteurs précédants, on a: ^2+(\frac{\sqrt{4-n^2}}{2}.c)^2}\\&=\sqrt{n^2.\frac{c^2}{4}+b^2-2n.\frac{c}{2}.b+\frac{4-n^2}{4}.c^2}\\&=\sqrt{\frac{n^2.c^2}{4}+b^2-n.bc+\frac{4c^2-n^2.c^2}{4}}\\&=\sqrt{\frac{n^2.c^2}{4}+b^2-n.bc+c^2-\frac{n^2.c^2}{4}}\\&=\sqrt{b^2-n.bc+c^2}\end{align*}) . De même:  . Et on a aussi: )^2+(\frac{\sqrt{4-n^2}}{2}.(a+c))^2}\\&=\sqrt{\frac{n^2}{4}(c^2-2ac+a^2)+\frac{4-n^2}{4}.(a^2+2ac+c^2}\\&=\sqrt{\frac{n^2.c^2-2ac.n^2+n^2.a^2}{4}+\frac{4a^2+8ac+4c^2-a^2.n^2-2ac.n^2-n^2.c^2}{4}}\\&=\sqrt{\frac{n^2.c^2-2ac.n^2+n^2.a^2+4a^2+8ac+4c^2-a^2.n^2-2ac.n^2-n^2.c^2}{4}}\\&=\sqrt{\frac{-4ac.n^2+4a^2+8ac+4c^2}{4}}\\&=\sqrt{a^2+2ac+c^2-n^2.ac}\\&=\sqrt{a^2+(2-n^2).ac+c^2}\end{align*}) . Et puisqu'on a  selon l'inégalité triangulaire. Il s'ensuit que: .ac+c^2}) . CQFD. Sauf faute de frappe. | |
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