olympiade régional du 13 mai (gharb chrarda beni 7ssen)

dsl pour le retard:

EXO1:
considérons un polynome p(x)=x³-61x+855x-3483 tel que a,b et c ses racines.
prouvez que a+b+c=2011

EXO2:
x,y et ztrois reéls strictement positive tel que xyz=1
prouvez que : (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)≥8

EXO3:
résolvez en IR le système suivant:
{x(1+y+y⁴)=84
{x(1+y+y)=14

EXO4:
a et b deux réels strictement positve et différents tel que a+b=1.
consudérons la fonction f(x)determiné sur IR tel que: f(x)=(1+1/a)x-6x+(1+1/b) et Cf sa courbe représentatif.
montrez que Cf ne coupe pas l'axis (O,i)

EXO5:
les milieu d'un triangle ABC [AI] ET [BJ] حاملاهما sont perpendiculères et ce découpe en un point G.
calculez AC+CB en fonction de AB.

EXO6:
PQR est un triangle droit dans P. I et J deux points de [RQ] tel que :
RI=IJ=JQ et PI=3 et PJ=4.
calculez les longeurs des cotés de ce triangle (أضلاع).

durée:2h30

BONNE CHANCE

Exo 1 il suffit d'utiliser les formules de Viêt
Exo2
l'inégalité est équivalente a [(x+1)(y+1)(z+1)]/xyz=(x+1)(y+1)(z+1)>=2*2*2racine(xyz)=8
Exo4
pour prouver que Cf ne coupe pas l'axis il suffit de prouver que f(x)=0 n'a po de solution
autrement dit il suffit de prouver que 36-4(1+1/b)(1+1/a)<0
hors (1+1/b)(1+1/a)=(a/b+2)(b/a+2)=5+2(a/b+b/a)>0 (a et b sont différant )
implique 36-4(1+1/b)(1+1/a)<0 ce qui finit la démonstration
Exo5
c'est un peux long je cite le grandes ligne
il suffit d'utiliser moubarhanat lmoutawasite et le faites que si o et le contre de gravité et I milieu d'un coté alors AO=2/3AI Pythagore fera l’affaire
EXO6
encore long voila les grande ligne
utiliser moubarhanat lmoutawasite PI²+PJ²=2PF²+1/2 IJ² puis trouver RQ
ensuite utiliser le théorème d'Alcachi dans les triangle PIF et PJQ et le faites que -cos(x)=cos(pi-x) , on va obtenir un sytheme en utilisant pytagor dans le triangle PQR
AMICALEMENT

salam
pour exo 1
p(x)=x^3-61x²+855x-3483
on a P(a)=0
P(b)=0
P(c)=0
donc P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)
P(x)=x^3-x²(a+b+c)+x(ab+ac+bc)-abc
donc a+b+c=61
et ab+ac+bc=855
(a+b+c)²=61²
a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)=3721
a²+b²+c²=3721-2*855
a²+b²+c²=2011

exo 2
on a (1+1/x)=>2sqrt(x)/x
(1+1/y)=>2sqrt(y)/y
(1+1/z)=>2sqrt(z)/z
(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=>8sqrt(xyz)/xyz
donc (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=>8

exo 3
j'ai trouvé S={(2,2);(8,1/2)}

la demonstrattion plizz du 3ème exo

on a :

salut
on a x(1+y+y²)=14
donc x²(1+y+y²)²=196
x²(1+y²+y^4+2y+2y²+2y^3)=196
x²(1+y²+y^4)+x²(2y(1+y+y²))=196
84+2xy*x(1+y+y²)=196
28xy=112
xy=4

x²(1+y²+y^4)=x²(1+y²)+x²y^4=x²(1+y²)+16y²
x(1+y+y²)=x(1+y²)+xy=x(1+y²)+4

x²(1+y²)+16y²=84 <=>(x²+16)(y²+1)=100
x(1+y²)+4=14 <=>x(1+y²)=10
donc (x²+16)(y²+1)=10x(1+y²)
on résoudre x²+16=10x
et on trouve x=2 ou x=1/2
xy=4<=>(x=2 et y=2) ou (x=8 et y=1/2)
S={(2,2) (8,1/2)}

j'ai démontré que (x²+16)(y²+1)=100
et x(1+y²)=10
mais le prof ne m'a pas laisser finir time up!!!!
normalement 6 exos en 2h30 c pas sufisant du tout