Un entier !

Pour des entiers naturels distincts , posons
()
montrer que pour tout :
est un entier naturel.

Jolie Problème.
Aurais tu une solution non calculatoire?
Merci.

MohE a écrit:

Jolie Problème.
Aurais tu une solution non calculatoire?
Merci.

 
Bonjour MohE,
 
Tu peux considérer cette matrice comme le début d'une solution non très calculatoire ( à moins que tu t'en es pas servie ) :
 

 
Le calcul de son déterminant en développant par rapport à la première ligne permettra de dévoiler l'évidence.

Bonjour Vz,

J'ai utilisé ton indication qui nécessite de savoir calculer un déterminant de Vandermonde.
J'obtiens bien que la somme des (a_i)^k/p_i est un entier, mais je n'obtiens pas que c'est un entier positif.
Est-ce que tu arrives bien à montrer par cette méthode que la somme est positive (ou nulle)?
Tu parles d'une "évidence" mais le fait que ce soit positif ne me parait pas du tout évident.

J'ai une démonstration plus simple (sans algèbre linéaire) par laquelle j'obtiens également que la somme est un entier relatif.

J'ai cependant réussi à montrer que c'est un entier positif ou nul mais par une démonstration plus compliquée.

Bonsoir jandri,
 
Désolé pour mon abus de langage, cette partie de l'exercice est loin d'être considérée comme une évidence, d'ailleurs ça fait très longtemps que j'ai posté cet exercice, pour montrer que l'entier est positif on peut avoir recours aux polynômes de Lagrange en effet:
L'entier  concerné est le coefficient dominant du polynôme 

Or ce polynôme coïncide avec le polynôme  en  points positifs, avec le théorème des valeurs intermédiaires appliqué  fois on peut trouver un réel  compris quelque part entre ces entiers positifs tel que la dérivée  des deux polynômes ait la même valeur en ce réel , c'est à dire que donc on a bien , si  on peut facilement voir que  

Bonjour Vz,

Merci pour cette démonstration très claire (et merci pour ce bel exercice).
Voici ma démonstration (j'utilise la notation indicielle LateX a_i).

Je note P=(X-a_1)...(X-a_n) et j'effectue la division euclidienne de X^k par P: X^k=QP+R avec degré(R)< n.
La décomposition en éléments simples de X^k/P donne (a_i)^k/p_i comme coefficient de 1/(X-a_i).
On en déduit que la somme des (a_i)^k/p_i est égale au coefficient de X^(n-1) dans R.

Pour montrer que c'est un entier positif j'utilise le lemme facile à montrer:
si Q_{i-1} est à coefficients dans N et si a_i est dans N, alors Q_{i-1}=(X-a_i)Q_i+b_i avec Q_i à coefficients dans N et b_i dans N.
En partant de Q_0=X^k et en appliquant n fois ce lemme on obtient:
X^k=(X-a_1)...(X-a_n)Q_n+(X-a_1)...(X-a_{n-1})b_n+...+(X-a_1)b_2+b_1 qui montre que le coefficient de X^(n-1) dans R, b_n, est dans N.