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 Un entier !

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MessageSujet: Un entier !   Un entier ! EmptyLun 16 Mai 2011, 22:44

Pour des entiers naturels distincts Un entier ! E6f242b25c16cddacdda438d361f934dd0c9f7e6 , Un entier ! Bc0163f29f6d66707d1fb0704c0fb4c579b86606 posons
Un entier ! 5db0cbe3f28ae36faa6a3b6cfc06eff54fa78298 (Un entier ! 4718352f8d6eafc1b2acf16f9768f3c18d37f819)
montrer que pour tout Un entier ! 7eadfe49d07151d2d76b5fff3c18031f7c653364 :
Un entier ! 1f4e463ccaf8674184336a7905a20c46cc82e626 est un entier naturel.
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MohE
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MohE

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MessageSujet: Re: Un entier !   Un entier ! EmptyDim 04 Aoû 2013, 03:09

Jolie Problème.
Aurais tu une solution non calculatoire?
Merci.
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MessageSujet: Re: Un entier !   Un entier ! EmptyMer 07 Aoû 2013, 06:20

MohE a écrit:
Jolie Problème.
Aurais tu une solution non calculatoire?
Merci.
 
Bonjour MohE,
 
Tu peux considérer cette matrice comme le début d'une solution non très calculatoire ( à moins que tu t'en es pas servie ) :
 
Un entier ! E17edfac6ad02570a908077c3011a28f9b8bb3e5
 
Le calcul de son déterminant en développant par rapport à la première ligne permettra de dévoiler l'évidence.
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MessageSujet: Re: Un entier !   Un entier ! EmptyMer 07 Aoû 2013, 20:27

Bonjour Vz,

J'ai utilisé ton indication qui nécessite de savoir calculer un déterminant de Vandermonde.
J'obtiens bien que la somme des (a_i)^k/p_i est un entier, mais je n'obtiens pas que c'est un entier positif.
Est-ce que tu arrives bien à montrer par cette méthode que la somme est positive (ou nulle)?
Tu parles d'une "évidence" mais le fait que ce soit positif ne me parait pas du tout évident.

J'ai une démonstration plus simple (sans algèbre linéaire) par laquelle j'obtiens également que la somme est un entier relatif.

J'ai cependant réussi à montrer que c'est un entier positif ou nul mais par une démonstration plus compliquée.
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MessageSujet: Re: Un entier !   Un entier ! EmptyMer 07 Aoû 2013, 22:32

Bonsoir jandri,
 
Désolé pour mon abus de langage, cette partie de l'exercice est loin d'être considérée comme une évidence, d'ailleurs ça fait très longtemps que j'ai posté cet exercice, pour montrer que l'entier est positif on peut avoir recours aux polynômes de Lagrange en effet:
L'entier Un entier ! B51a60734da64be0e618bacbea2865a8a7dcd669 concerné est le coefficient dominant du polynôme 
Un entier ! 6ef0165d66ec3f16fd4c2363790d113f56fc9f83
Or ce polynôme coïncide avec le polynôme Un entier ! 921e9032521617b0f48919794ed875eac4f77d2b en Un entier ! D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa points positifs, avec le théorème des valeurs intermédiaires appliqué Un entier ! D1854cae891ec7b29161ccaf79a24b00c274bdaa fois on peut trouver un réel Un entier ! A0f1490a20d0211c997b44bc357e1972deab8ae3 compris quelque part entre ces entiers positifs tel que la dérivée Un entier ! A7ef7f7b5d386dbaaef2ed0361de7b71f3834dcc des deux polynômes ait la même valeur en ce réel Un entier ! A46767ab8028bd3c56a5de4968683e3037d58446, c'est à dire que Un entier ! Ca3b6c052fb140c9873bd680b45e3caac8b6b54fdonc on a bien Un entier ! De9b5f44563ef889c7e86f0701f097ef7de27e78, si Un entier ! 8f0d20fcb0e7a3ab5e6bd3b6f2200213994338c2 on peut facilement voir que Un entier ! 3cc5b52673ea870694ab48675c7691842d2a2d5b Un entier ! 5535bcdec4c47f48bc7dcaaf51ba2b5901a202e5
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MessageSujet: Re: Un entier !   Un entier ! EmptyJeu 08 Aoû 2013, 07:53

Bonjour Vz,

Merci pour cette démonstration très claire (et merci pour ce bel exercice).
Voici ma démonstration (j'utilise la notation indicielle LateX a_i).

Je note P=(X-a_1)...(X-a_n) et j'effectue la division euclidienne de X^k par P: X^k=QP+R avec degré(R)< n.
La décomposition en éléments simples de X^k/P donne (a_i)^k/p_i comme coefficient de 1/(X-a_i).
On en déduit que la somme des (a_i)^k/p_i est égale au coefficient de X^(n-1) dans R.

Pour montrer que c'est un entier positif j'utilise le lemme facile à montrer:
si Q_{i-1} est à coefficients dans N et si a_i est dans N, alors Q_{i-1}=(X-a_i)Q_i+b_i avec Q_i à coefficients dans N et b_i dans N.
En partant de Q_0=X^k et en appliquant n fois ce lemme on obtient:
X^k=(X-a_1)...(X-a_n)Q_n+(X-a_1)...(X-a_{n-1})b_n+...+(X-a_1)b_2+b_1 qui montre que le coefficient de X^(n-1) dans R, b_n, est dans N.
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