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 Classique

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n.naoufal
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MessageSujet: Classique   Sam 28 Mai 2011, 13:55


Montrer qu’il ∃ a,b ∈Z tels que :
|bm/p-a|≤1/√p et 0<b <√p

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Dijkschneier
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MessageSujet: Re: Classique   Sam 28 Mai 2011, 16:41

[x] désigne la partie entière de x et {x} sa partie fractionnaire.
S'il existe b tel que {bm/p}<=1/sqrt(p), alors il suffit de prendre ce b et a=[bm/p].
S'il existe b tel que {bm/p} > [sqrt(p)]/sqrt(p), alors 1-{bm/p} <= 1/sqrt(p), et donc |{bm/p}-1| <= 1/sqrt(p), et il suffit de prendre ce b et a=[bm/p]+1.
Sinon, [sqrt(p)]/sqrt(p)>{bm/p}>1/sqrt(p) pour tout b de {1,2,..,[sqrt(p)]}, et d'après le principe des tiroirs on a deux éléments i et j tels que {im/p} et {jm/p} soient tous deux dans [k/sqrt(p), (k+1)/sqrt(p)] (on considère les ([sqrt(p)]-1) divisions [1/sqrt(p), 2/sqrt(p)], ..., [([sqrt(p)]-1)/sqrt(p), [sqrt(p)]/sqrt(p)]), ce qui donne :
|{im/p} - {jm/p}| <= 1/sqrt(p)
|(i-j)m/p + [im/p]-[jm/p]| <= 1/sqrt(p)
Et il suffit alors de prendre a=[im/p]-[jm/p] et b=i-j.
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n.naoufal
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MessageSujet: Re: Classique   Sam 28 Mai 2011, 18:47

Bien vu !
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MessageSujet: Re: Classique   

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Classique
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